當(dāng)前位置： 2023年湖南省常德市高考數(shù)學(xué)二模試卷> 試題詳情

已知A、B是雙曲線C₁：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（a＞0，b＞0）的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上異于A、B的一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OP交橢圓C₂：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
于點(diǎn)Q，設(shè)直線PA、PB、QA、QB的斜率分別為k₁、k₂、k₃、k₄．
（1）若雙曲線C₁的漸近線方程是
y
=±
1
2
x
，且過(guò)點(diǎn)
（
5
，
1
2
）
，求C₁的方程；
（2）在（1）的條件下，如果
k
1
+
k
2
=
15
8
，求△ABQ的面積；
（3）試問(wèn)：k₁+k₂+k₃+k₄是否為定值？如果是，請(qǐng)求出此定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】

【點(diǎn)評(píng)】

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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：163引用：3難度：0.6

相似題

1．已知橢圓E：
x
2
a
2
+
y
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過(guò)左焦點(diǎn)F₁的直線與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，△MNF₂的周長(zhǎng)為4|F₁F₂|．
（1）求橢圓E的離心率；
（2）直線l：y=k（x-4）與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，直線l與x軸的交點(diǎn)為D，若A，B都在x軸上方且點(diǎn)A在線段DB上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△AOD和△BOD面積分別為S₁，S₂，記
λ
=
S
2
S
1
，當(dāng)滿足條件的實(shí)數(shù)k變化時(shí)，λ的取值范圍是
（
1
，
5
3
）
，求橢圓E的方程．
發(fā)布：2024/10/23 18:0:1組卷：44引用：1難度：0.5
解析
2．已知橢圓E：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F₂，上頂點(diǎn)為H，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∠OHF₂=30°，點(diǎn)（1，
3
2
）在橢圓E上．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F₂且斜率不為0的直線l與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（-2，0），Q（2，0）．若M，N分別為直線AP，BQ與y軸的交點(diǎn)，記△MPQ，△NPQ的面積分別為S_△MPQ，S_△NPQ，求
S
△
MPQ
S
△
NPQ
的值．
發(fā)布：2024/10/28 4:0:1組卷：257引用：9難度：0.6
解析
3．已知橢圓C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的離心率為
1
2
，焦距為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C的左頂點(diǎn)為A，過(guò)右焦點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于B，D（異于點(diǎn)A）兩點(diǎn)，直線AB，AD分別與直線x=4交于M，N兩點(diǎn)，試問(wèn)∠MFN是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
發(fā)布：2024/10/23 19:0:2組卷：58引用：3難度：0.6
解析

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