人教五四新版九年級（上）中考題單元試卷：第28章 二次函數（25）

一、解答題（共30小題）

• 1．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=DC，BC在x軸上，點A在y軸的正半軸上，點A，D的坐標分別為A（0，2），D（2，2），AB=2

  2

  ，連接AC．
  （1）求出直線AC的函數解析式；
  （2）求過點A，C，D的拋物線的函數解析式；
  （3）在拋物線上有一點P（m,n）（n＜0），過點P作PM垂直于x軸，垂足為M，連接PC，使以點C，P，M為頂點的三角形與Rt△AOC相似，求出點P的坐標．
  組卷：1514引用：52難度：0.1

  解析

• 2．如圖，已知一次函數y₁=

  1

  2

  x+b的圖象l與二次函數y₂=-x²+mx+b的圖象C′都經過點B（0，1）和點C，且圖象C′過點A（2-

  5

  ，0）．
  （1）求二次函數的最大值；
  （2）設使y₂＞y₁成立的x取值的所有整數和為s,若s是關于x的方程

  （

  1

  +

  1

  a

  -

  1

  ）

  x

  +

  3

  x

  -

  3

  =0的根，求a的值；
  （3）若點F、G在圖象C′上，長度為

  5

  的線段DE在線段BC上移動，EF與DG始終平行于y軸，當四邊形DEFG的面積最大時，在x軸上求點P，使PD+PE最小，求出點P的坐標．
  組卷：1827引用：53難度：0.1

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• 3．如圖，拋物線y=ax²+bx+2與x軸交于點A（1，0）和B（4，0）．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）若拋物線的對稱軸交x軸于點E，點F是位于x軸上方對稱軸上一點，FC∥x軸，與對稱軸右側的拋物線交于點C，且四邊形OECF是平行四邊形，求點C的坐標；
  （3）在（2）的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△OCP是直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
  組卷：2071引用：60難度：0.1

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• 4．如圖，直角梯形ABCO的兩邊OA，OC在坐標軸的正半軸上，BC∥x軸，OA=OC=4，以直線x=1為對稱軸的拋物線過A，B，C三點．
  （1）求該拋物線的函數解析式；
  （2）已知直線l的解析式為y=x+m,它與x軸交于點G，在梯形ABCO的一邊上取點P．
  ①當m=0時，如圖1，點P是拋物線對稱軸與BC的交點，過點P作PH⊥直線l于點H，連接OP，試求△OPH的面積；
  ②當m=-3時，過點P分別作x軸、直線l的垂線，垂足為點E，F．是否存在這樣的點P，使以P，E，F為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
  
  組卷：4547難度：0.1

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• 5．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x²-（m+n）x+mn（m＞n）與x軸相交于A、B兩點（點A位于點B的右側），與y軸相交于點C．
  （1）若m=2，n=1，求A、B兩點的坐標；
  （2）若A、B兩點分別位于y軸的兩側，C點坐標是（0，-1），求∠ACB的大??；
  （3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．
  
  組卷：2985引用：52難度：0.5

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• 6．如圖，在矩形AOCD中，把點D沿AE對折，使點D落在OC上的F點，已知AO=8．AD=10．
  （1）求F點的坐標；
  （2）如果一條不與拋物線對稱軸平行的直線與該拋物線僅有一個交點，我們把這條直線稱為拋物線的切線，已知拋物線過點O，F，且直線y=6x-36是該拋物線的切線，求拋物線的解析式；
  （3）直線y=k（x-3）-

  35

  4

  與（2）中的拋物線交于P、Q兩點，點B的坐標為（3，-

  35

  4

  ），求證：

  1

  PB

  +

  1

  QB

  為定值．（參考公式：在平面直角坐標系中，若M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則M，N兩點間的距離為|MN|=

  （

  x

  2

  -

  x

  1

  ）

  2

  +

  （

  y

  2

  -

  y

  1

  ）

  2

  ）
  組卷：1797難度：0.1

  解析

• 7．已知拋物線y=x²-（k+2）x+

  5

  k

  +

  2

  4

  和直線y=（k+1）x+（k+1）²．
  （1）求證：無論k取何實數值，拋物線總與x軸有兩個不同的交點；
  （2）拋物線于x軸交于點A、B，直線與x軸交于點C，設A、B、C三點的橫坐標分別是x₁、x₂、x₃，求x₁?x₂?x₃的最大值；
  （3）如果拋物線與x軸的交點A、B在原點的右邊，直線與x軸的交點C在原點的左邊，又拋物線、直線分別交y軸于點D、E，直線AD交直線CE于點G（如圖），且CA?GE=CG?AB，求拋物線的解析式．
  組卷：960引用：51難度：0.1

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• 8．如圖，拋物線y=ax²-8ax+12a（a＞0）與x軸交于A、B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C，點D的坐標為（-6，0），且∠ACD=90°．
  （1）請直接寫出A、B兩點的坐標；
  （2）求拋物線的解析式；
  （3）拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得△PAC的周長最??？若存在，求出點P的坐標及周長的最小值；若不存在，說明理由；
  （4）平行于y軸的直線m從點D出發(fā)沿x軸向右平行移動，到點A停止．設直線m與折線DCA的交點為G，與x軸的交點為H（t,0）．記△ACD在直線m左側部分的面積為s,求s關于t的函數關系式及自變量t的取值范圍．
  組卷：1669引用：52難度：0.1

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• 9．如圖，已知拋物線y=

  3

  8

  x²-

  3

  4

  x-3與x軸的交點為A、D（A在D的右側），與y軸的交點為C．
  （1）直接寫出A、D、C三點的坐標；
  （2）若點M在拋物線對稱軸上，使得MD+MC的值最小，并求出點M的坐標；
  （3）設點C關于拋物線對稱軸的對稱點為B，在拋物線上是否存在點P，使得以A、B、C、P四點為頂點的四邊形為梯形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
  組卷：2711難度：0.1

  解析

• 10．綜合與探究：如圖，在平面直角坐標系xOy中，四邊形OABC是平行四邊形，A、C兩點的坐標分別為（4，0），（-2，3），拋物線W經過O、A、C三點，D是拋物線W的頂點．
  （1）求拋物線W的解析式及頂點D的坐標；
  （2）將拋物線W和?OABC一起先向右平移4個單位后，再向下平移m（0＜m＜3）個單位，得到拋物線W′和?O′A′B′C′，在向下平移的過程中，設?O′A′B′C′與?OABC的重疊部分的面積為S，試探究：當m為何值時S有最大值，并求出S的最大值；
  （3）在（2）的條件下，當S取最大值時，設此時拋物線W′的頂點為F，若點M是x軸上的動點，點N是拋物線W′上的動點，試判斷是否存在這樣的點M和點N，使得以D、F、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
  組卷：2657引用：54難度：0.1

  解析

一、解答題（共30小題）

• 29．如圖，在平面直角坐標系中，已知點O（0，0），A（5，0），B（4，4）．
  （1）求過O、B、A三點的拋物線的解析式．
  （2）在第一象限的拋物線上存在點M，使以O、A、B、M為頂點的四邊形面積最大，求點M的坐標．
  （3）作直線x=m交拋物線于點P，交線段OB于點Q，當△PQB為等腰三角形時，求m的值．
  組卷：2783引用：55難度：0.1

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• 30．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）過O、B、C三點，B、C坐標分別為（10，0）和（

  18

  5

  ，-

  24

  5

  ），以OB為直徑的⊙A經過C點，直線l垂直x軸于B點．
  （1）求直線BC的解析式；
  （2）求拋物線解析式及頂點坐標；
  （3）點M是⊙A上一動點（不同于O，B），過點M作⊙A的切線，交y軸于點E，交直線l于點F，設線段ME長為m,MF長為n,請猜想m?n的值，并證明你的結論；
  （4）若點P從O出發(fā)，以每秒一個單位的速度向點B做直線運動，點Q同時從B出發(fā)，以相同速度向點C做直線運動，經過t（0＜t≤8）秒時恰好使△BPQ為等腰三角形，請求出滿足條件的t值．
  組卷：1541引用：51難度：0.1

  解析