當(dāng)前位置： 2023-2024學(xué)年廣東省汕頭市潮陽(yáng)實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷> 試題詳情

生活中，橢圓有很多光學(xué)性質(zhì)，如從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線射到橢圓鏡面后反射，反射光線經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)．現(xiàn)橢圓C的焦點(diǎn)在y軸上，中心在原點(diǎn)，從下焦點(diǎn)F₁射出的光線經(jīng)過(guò)橢圓鏡面反射到上焦點(diǎn)F₂，這束光線的總長(zhǎng)度為4，且反射點(diǎn)與焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積的最大值為
3
，已知橢圓的離心率
e
＜
2
2
．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）若從橢圓C的中心O出發(fā)的兩束光線OM，ON，分別穿過(guò)橢圓上的A，B兩點(diǎn)后射到直線y=4上的M，N兩點(diǎn)，若AB連線過(guò)橢圓的上焦點(diǎn)F₂，試問(wèn)，直線BM與直線AN能交于一定點(diǎn)嗎？若能，求出此定點(diǎn)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓的幾何特征．

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】

【點(diǎn)評(píng)】

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發(fā)布：2024/9/6 7:0:8組卷：74引用：4難度：0.5

相似題

1．已知橢圓E：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（a＞b＞0）的離心率為
1
2
，且其長(zhǎng)軸長(zhǎng)與焦距之和為6，直線y=k₁x,y=k₂x與橢圓E分別交于點(diǎn)A，B，C，D，且k₁+k₂=-12．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求四邊形ACBD面積的最大值．
發(fā)布：2024/10/23 12:0:1組卷：30引用：1難度：0.5
解析
2．已知橢圓E：
x
2
a
2
+
y
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過(guò)左焦點(diǎn)F₁的直線與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，△MNF₂的周長(zhǎng)為4|F₁F₂|．
（1）求橢圓E的離心率；
（2）直線l：y=k（x-4）與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，直線l與x軸的交點(diǎn)為D，若A，B都在x軸上方且點(diǎn)A在線段DB上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△AOD和△BOD面積分別為S₁，S₂，記
λ
=
S
2
S
1
，當(dāng)滿足條件的實(shí)數(shù)k變化時(shí)，λ的取值范圍是
（
1
，
5
3
）
，求橢圓E的方程．
發(fā)布：2024/10/23 18:0:1組卷：43引用：1難度：0.5
解析
3．已知橢圓C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的離心率為
1
2
，焦距為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C的左頂點(diǎn)為A，過(guò)右焦點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于B，D（異于點(diǎn)A）兩點(diǎn)，直線AB，AD分別與直線x=4交于M，N兩點(diǎn)，試問(wèn)∠MFN是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
發(fā)布：2024/10/23 19:0:2組卷：58引用：3難度：0.6
解析

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