2023-2024學(xué)年湖北省武漢市華中師大一附中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

• 1．如圖，在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為A₁C₁，B₁D₁的交點(diǎn)．若

  AB

  =

  a

  ，

  AD

  =

  b

  ，

  A

  A

  1

  =

  c

  ，則向量

  BM

  =（　?。?/div>

  A．- 1 2 a + 1 2 b + c

  B． 1 2 a + 1 2 b + c

  C．- 1 2 a - 1 2 b + c

  D． 1 2 a - 1 2 b + c
  組卷：1772引用：46難度：0.7

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• 2．平面內(nèi)到兩定點(diǎn)A（-6，0），B（0，8）的距離之差等于10的點(diǎn)的軌跡為（　?。?/div>

  A．橢圓	B．雙曲線
  C．雙曲線的一支	D．以上選項(xiàng)都不對(duì)
  組卷：13引用：1難度：0.7

  解析
• 3．“k＞4”是“方程x²+y²+kx+（k-2）y+5=0表示圓的方程”的（　?。?/div>

  A．充分不必要條件	B．必要不充分條件
  C．充要條件	D．既不充分也不必要條件
  組卷：199引用：4難度：0.7

  解析
• 4．已知橢圓C：

  x

  2

  4

  +

  y

  2

  k

  +

  1

  =1的離心率為

  1

  2

  ，則實(shí)數(shù)k的值為（　?。?/div>

  A．2

  B．2或7

  C．2或 13 3

  D．7或 13 3
  組卷：139引用：2難度：0.7

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• 5．如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分．過(guò)對(duì)稱軸的截口BAC是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F₁上，片門(mén)位于另一個(gè)焦點(diǎn)F₂上．由橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F₁發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個(gè)焦點(diǎn)F₂．已知BF₁⊥F₁F₂，|F₁B|=

  5

  3

  ，|F₁F₂|=4．若透明窗DE所在的直線與截口BAC所在的橢圓交于一點(diǎn)P，且∠F₁PF₂=90°，則△PF₁F₂的面積為（　　）

  A．2

  B． 2 2

  C． 5 3

  D．5
  組卷：37引用：1難度：0.6

  解析
• 6．已知圓C₁：（x-a）²+（y+3）²=9與圓C₂：（x+b）²+（y+1）²=1外切，則ab的最大值為（　　）

  A．2

  B． 2 2

  C． 5 2

  D．3
  組卷：63引用：1難度：0.5

  解析
• 7．如圖所示，三棱錐A-BCD中，AB⊥平面BCD，∠BCD=

  π

  2

  ，BC=2AB=2CD=2，點(diǎn)P為棱AC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為直線DP，AB上的動(dòng)點(diǎn)，則線段EF的最小值為（　?。?/div>

  A． 2 4

  B． 2 2

  C． 10 4

  D． 5 2
  組卷：54引用：1難度：0.5

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四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

• 21．如圖，在多面體ABCDEF中，側(cè)面BCDF為菱形，側(cè)面ACDE為直角梯形，AC∥DE，AC⊥CD，N為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段DF上一動(dòng)點(diǎn)，且BC=2

  3

  ，AC=2DE，∠DCB=120°．
  （1）若點(diǎn)M為線段DF的中點(diǎn)，證明：MN∥平面ACDE；
  （2）若平面BCDF⊥平面ACDE，且DE=2，問(wèn)：線段DF上是否存在點(diǎn)M，使得直線MN與平面ABF所成角的正弦值為

  3

  10

  ？若存在，求出

  DM

  DF

  的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
  組卷：51引用：3難度：0.5

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• 22．已知橢圓C：

  x

  2

  4

  +

  y

  2

  3

  =1的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)A且斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓C于點(diǎn)P．
  （1）若|AP|=

  12

  2

  7

  ，求k的值；
  （2）若圓F是以F為圓心，1為半徑的圓，連接PF，線段PF交圓F于點(diǎn)T，射線AP上存在一點(diǎn)Q，使得

  QT

  ?

  BT

  為定值，證明：點(diǎn)Q在定直線上．
  組卷：54引用：1難度：0.5

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