2023-2024學(xué)年江蘇省無錫市梁溪區(qū)僑誼實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共10小題，每題3分，共30分）

• 1．下列方程中，是關(guān)于x的一元二次方程的是（　?。?/h2>

  A．（x-2）（x+3）=x-6	B．a(chǎn)x2-bxy+c=0（a≠0）
  C．x2-3xy+2=0	D． x 2 + 2 x + 1 = 0
  組卷：25引用：1難度：0.7

  解析

• 2．一元二次方程x²+3x-1=0根的情況為（　?。?/h2>

  A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根	B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
  C．沒有實(shí)數(shù)根	D．不能判定
  組卷：131引用：5難度：0.5

  解析

• 3．若2a=3b,則

  a

  +

  b

  a

  的值為（　?。?/h2>

  A． 5 3

  B． 3 5

  C． 2 5

  D． 5 2
  組卷：218引用：8難度：0.7

  解析

• 4．已知⊙O的直徑是10，點(diǎn)P到圓心O的距離是5，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（　　）

  A．點(diǎn)P在⊙O內(nèi)

  B．點(diǎn)P在⊙O上

  C．點(diǎn)P在⊙O外

  D．不能確定
  組卷：62引用：1難度：0.6

  解析

• 5．下列說法中，正確的是（　?。?/h2>

  A．長(zhǎng)度相等的弧是等弧

  B．在同圓或等圓中，等弦對(duì)等弧

  C．優(yōu)弧一定比劣弧長(zhǎng)

  D．在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等
  組卷：984引用：4難度：0.8

  解析

• 6．已知a是方程x²-2x-2023=0的根，則代數(shù)式2a²-4a-2的值為（　?。?/h2>

  A．4044

  B．-4044

  C．2024

  D．-2024
  組卷：590引用：3難度：0.6

  解析

• 7．如圖所示，AB為⊙O的直徑，C，D是⊙O上的點(diǎn)，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)G，∠CDB=30°，過點(diǎn)C作⊙O的切線交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，在不添加輔助線的情況下，角度為30°的角的個(gè)數(shù)為（　?。?/h2>

  A．2個(gè)

  B．3個(gè)

  C．4個(gè)

  D．5個(gè)
  組卷：360引用：4難度：0.5

  解析

• 8．如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=9，CD=4，以點(diǎn)A為圓心適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AB、AC于點(diǎn)M、N，分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于

  1

  2

  MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)H，作射線AH交BC于點(diǎn)D，作線段AD的垂直平分線EF，分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，連接DE、DF，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　　）

  A．AD平分∠BAC	B．AF=AE=DE=DF
  C．S△ADF=10	D．S△ADF：S△CDF=5：4
  組卷：199引用：3難度：0.6

  解析

• 9．如圖，若將圖1正方形剪成四塊，恰能拼成圖2的矩形，設(shè)a=1，則b=（　　）
  

  A． 5 - 1 2

  B． 5 + 1 2

  C． 5 + 3 2

  D． 2 + 1
  組卷：7806引用：31難度：0.7

  解析

三.解答題（共9小題）

• 26．解答下列問題：
  （1）【問題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，點(diǎn)M是

  ?

  ABC

  的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD=DB+BA．下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明CD=DB+BA的部分證明過程．
  證明：如圖2，在CD上截取CG=AB，連接MA、MB、MC和MG．
  ∵M(jìn)是

  ?

  ABC

  的中點(diǎn)，∴

  ?

  MA

  =

  ?

  MC

  ，
  ∴MA=MC①，
  又∵∠A=∠C②，
  ∴△MAB≌△MCG，
  ∴MB=MG，
  又∵M(jìn)D⊥BC，
  ∴BD=DG，
  ∴AB+BD=CG+DG，
  即CD=DB+BA，
  根據(jù)證明過程，分別寫出下列步驟的理由：
  ①

  ，
  ②

  ．
  （2）【理解運(yùn)用】如圖1，AB、BC是⊙O的兩條弦，AB=8，BC=12，點(diǎn)M是

  ?

  ABC

  的中點(diǎn)，MD⊥BC于點(diǎn)D，則BD的長(zhǎng)為

  ．
  （3）【變式探究】如圖3，若點(diǎn)M是

  ?

  AC

  的中點(diǎn)，【問題呈現(xiàn)】中的其他條件不變，判斷CD、DB、BA之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．
  （4）【實(shí)踐應(yīng)用】根據(jù)你對(duì)阿基米德折弦定理的理解完成下列問題：
  如圖4，BC是⊙O的直徑，點(diǎn)A圓上一定點(diǎn)，點(diǎn)D圓上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠DAC=45°，若AB=12，⊙O的半徑為10，求AD長(zhǎng)．
  ?
  組卷：321引用：2難度：0.2

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• 27．新定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若幾何圖形G與⊙A有公共點(diǎn)，則稱幾何圖形G的叫⊙A的關(guān)聯(lián)圖形，特別地，若⊙A的關(guān)聯(lián)圖形G為直線，則稱該直線為⊙A的關(guān)聯(lián)直線．如圖，∠M為⊙A的關(guān)聯(lián)圖形，直線l為⊙A的關(guān)聯(lián)直線．
  （1）已知⊙O是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，下列圖形：
  ①直線y=2x+2；②直線y=-x+3；③雙曲線y=

  2

  x

  ，是⊙O的關(guān)聯(lián)圖形的是

  （請(qǐng)直接寫出正確的序號(hào)）．
  （2）如圖1，⊙T的圓心為T（1，0），半徑為1，直線l：y=-x+b與x軸交于點(diǎn)N，若直線l是⊙T的關(guān)聯(lián)直線，求點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的取值范圍．
  （3）如圖2，已知點(diǎn)B（0，2），C（2，0），D（0，-2），⊙I經(jīng)過點(diǎn)C，⊙I的關(guān)聯(lián)直線HB經(jīng)過點(diǎn)B，與⊙I的一個(gè)交點(diǎn)為P；⊙I的關(guān)聯(lián)直線HD經(jīng)過點(diǎn)D，與⊙I的一個(gè)交點(diǎn)為Q；直線HB，HD交于點(diǎn)H，若線段PQ在直線
  x=6上且恰為⊙I的直徑，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)H橫坐標(biāo)h的取值范圍．
  
  組卷：881引用：5難度：0.1

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