魯教五四版九年級（上）中考題單元試卷：第2章 二次函數(shù)（31）

一、解答題（共28小題）

• 1．如圖，二次函數(shù)y=

  1

  2

  x²+bx-

  3

  2

  的圖象與x軸交于點A（-3，0）和點B，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點P是x軸上一動點，連接DP，過點P作DP的垂線與y軸交于點E．
  （1）請直接寫出點D的坐標(biāo)：

  ；
  （2）當(dāng)點P在線段AO（點P不與A、O重合）上運動至何處時，線段OE的長有最大值，求出這個最大值；
  （3）是否存在這樣的點P，使△PED是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)及此時△PED與正方形ABCD重疊部分的面積；若不存在，請說明理由．
  
  組卷：2904引用：69難度：0.1

  解析
• 2．綜合與探究：
  如圖，拋物線y=

  1

  4

  x²-

  3

  2

  x-4與x軸交于A，B兩點（點B在點A的右側(cè)），與y軸交于點C，連接BC，以BC為一邊，點O為對稱中心作菱形BDEC，點P是x軸上的一個動點，設(shè)點P的坐標(biāo)為（m,0），過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q．
  （1）求點A，B，C的坐標(biāo)．
  （2）當(dāng)點P在線段OB上運動時，直線l分別交BD，BC于點M，N．試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形，此時，請判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由．
  （3）當(dāng)點P在線段EB上運動時，是否存在點Q，使△BDQ為直角三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
  組卷：2378引用：63難度：0.1

  解析
• 3．如圖，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=4，OC=3，若拋物線的頂點在BC邊上，且拋物線經(jīng)過O，A兩點，直線AC交拋物線于點D．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）求點D的坐標(biāo)；
  （3）若點M在拋物線上，點N在x軸上，是否存在以A，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
  組卷：2248引用：72難度：0.1

  解析
• 4．如圖，拋物線y=ax²+c（a≠0）經(jīng)過C（2，0），D（0，-1）兩點，并與直線y=kx交于A、B兩點，直線l過點E（0，-2）且平行于x軸，過A、B兩點分別作直線l的垂線，垂足分別為點M、N．
  （1）求此拋物線的解析式；
  （2）求證：AO=AM；
  （3）探究：
  ①當(dāng)k=0時，直線y=kx與x軸重合，求出此時

  1

  AM

  +

  1

  BN

  的值；
  ②試說明無論k取何值，

  1

  AM

  +

  1

  BN

  的值都等于同一個常數(shù)．
  組卷：1940引用：61難度：0.3

  解析
• 5．如圖，已知拋物線y=

  1

  2

  x²+bx與直線y=2x交于點O（0，0），A（a,12）．點B是拋物線上O，A之間的一個動點，過點B分別作x軸、y軸的平行線與直線OA交于點C，E．
  （1）求拋物線的函數(shù)解析式；
  （2）若點C為OA的中點，求BC的長；
  （3）以BC，BE為邊構(gòu)造矩形BCDE，設(shè)點D的坐標(biāo)為（m,n），求出m,n之間的關(guān)系式．
  （4）將射線OA繞原點旋轉(zhuǎn)45°并與拋物線交于點P，求出P點坐標(biāo)．
  組卷：1147引用：57難度：0.1

  解析
• 6．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+3與x軸交于A、B兩點，過點A的直線l與拋物線交于點C，其中A點的坐標(biāo)是（1，0），C點坐標(biāo)是（4，3）．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）在（1）中拋物線的對稱軸上是否存在點D，使△BCD的周長最??？若存在，求出點D的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；
  （3）若點E是（1）中拋物線上的一個動點，且位于直線AC的下方，試求△ACE的最大面積及E點的坐標(biāo)．
  組卷：1901引用：73難度：0.1

  解析
• 7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，拋物線y=

  1

  2

  x²+2x與x軸相交于O、B，頂點為A，連接OA．
  （1）求點A的坐標(biāo)和∠AOB的度數(shù)；
  （2）若將拋物線y=

  1

  2

  x²+2x向右平移4個單位，再向下平移2個單位，得到拋物線m,其頂點為點C．連接OC和AC，把△AOC沿OA翻折得到四邊形ACOC′．試判斷其形狀，并說明理由；
  （3）在（2）的情況下，判斷點C′是否在拋物線y=

  1

  2

  x²+2x上，請說明理由．
  （4）若點P為x軸上的一個動點，試探究在拋物線m上是否存在點Q，使以點O、P、C、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，且OC為該四邊形的一條邊？若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． （參考公式：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）圖象的頂點坐標(biāo)為（

  -

  b

  2

  a

  ，

  4

  ac

  -

  b

  2

  4

  a

  ），對稱軸是直線x=-

  b

  2

  a

  ．）
  組卷：905引用：55難度：0.1

  解析
• 8．如圖，拋物線y₁=x²-1交x軸的正半軸于點A，交y軸于點B，將此拋物線向右平移4個單位得拋物線y₂，兩條拋物線相交于點C．
  （1）請直接寫出拋物線y₂的解析式；
  （2）若點P是x軸上一動點，且滿足∠CPA=∠OBA，求出所有滿足條件的P點坐標(biāo)；
  （3）在第四象限內(nèi)拋物線y₂上，是否存在點Q，使得△QOC中OC邊上的高h(yuǎn)有最大值？若存在，請求出點Q的坐標(biāo)及h的最大值；若不存在，請說明理由．
  組卷：857引用：56難度：0.1

  解析
• 9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=

  1

  4

  （x-m）²-

  1

  4

  m²+m的頂點為A，與y軸的交點為B，連接AB，AC⊥AB，交y軸于點C，延長CA到點D，使AD=AC，連接BD．作AE∥x軸，DE∥y軸．
  （1）當(dāng)m=2時，求點B的坐標(biāo)；
  （2）求DE的長？
  （3）①設(shè)點D的坐標(biāo)為（x,y），求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式？②過點D作AB的平行線，與第（3）①題確定的函數(shù)圖象的另一個交點為P，當(dāng)m為何值時，以A，B，D，P為頂點的四邊形是平行四邊形？
  組卷：1617引用：57難度：0.1

  解析

一、解答題（共28小題）

• 27．已知：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線

  y

  =

  -

  1

  4

  x

  2

  +

  bx

  +

  3

  交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，且對稱軸為直線x=-2，點P（0，t）是y軸上的一個動點．
  
  （1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo)．
  （2）如圖1，當(dāng)0≤t≤4時，設(shè)△PAD的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；S是否有最小值？如果有，求出S的最小值和此時t的值．
  （3）如圖2，當(dāng)點P運動到使∠PDA=90°時，Rt△ADP與Rt△AOC是否相似？若相似，求出點P的坐標(biāo)；若不相似，說明理由．
  組卷：737引用：42難度：0.1

  解析
• 28．已知拋物線y₁=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸是直線l,頂點為點M．若自變量x和函數(shù)值y₁的部分對應(yīng)值如下表所示：
  （Ⅰ）求y₁與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
  （Ⅱ）若經(jīng)過點T（0，t）作垂直于y軸的直線l′，A為直線l′上的動點，線段AM的垂直平分線交直線l于點B，點B關(guān)于直線AM的對稱點為P，記P（x,y₂）．
  （1）求y₂與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
  （2）當(dāng)x取任意實數(shù)時，若對于同一個x,有y₁＜y₂恒成立，求t的取值范圍．
  

  x	…	-1	0	3	…
  y1=ax2+bx+c	…	0	9 4	0	…
  組卷：793引用：35難度：0.1

  解析