2022-2023學(xué)年重慶市北碚區(qū)高三（上）質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（10月份）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

• 1．復(fù)數(shù)

  z

  =

  1

  +

  3

  i

  3

  -

  i

  （i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)

  z

  =（　?。?/h2>

  A．i

  B．-i

  C．3i

  D．-3i
  組卷：99引用：3難度：0.8

  解析

• 2．若命題“?x＞0，x+a-1=0”是假命題，則實數(shù)a的范圍是（　?。?/h2>

  A．{a|a＜-1}

  B．{a|a≤-1}

  C．{a|a＞1}

  D．{a|a≥1}
  組卷：77引用：2難度：0.8

  解析

• 3．設(shè)函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  1 ， x ＞ 0

  0 ， x = 0

  - 1 ， x ＜ 0

  ，則方程x²f（x-1）=-4的解為（　?。?/h2>

  A．x=-2

  B．x=-3

  C．x=2

  D．x=3
  組卷：136引用：4難度：0.8

  解析

• 4．sin10°的值落在區(qū)間（　?。┲校?/h2>

  A． （ 1 7 ， 1 6 ）

  B． （ 1 6 ， 1 5 ）

  C． （ 1 5 ， 1 4 ）

  D． （ 2 6 ， 3 6 ）
  組卷：56引用：2難度：0.6

  解析

• 5．大磨灘瀑布位于重慶市北碚區(qū)，其為懸?guī)r瀑布，白練千條，五光十色，氣勢磅礴，吼聲如雷．在懸瀑正中，有一人工開鑿的洞穴，用石板封閉，人不能入．右側(cè)有石屋兩間，人工鑿巖而成，各長6米，寬3米，高2.5米，一上一下，兩屋相通，下屋內(nèi)有石窗，可觀瀑布．為了測量大磨灘瀑布的某一處實際高度，李華同學(xué)設(shè)計了如下測量方案：有一段水平山道，且山道與瀑布不在同一平面內(nèi)，瀑布底端與山道在同一平面內(nèi)，可粗略認(rèn)為瀑布與該水平山道所在平面垂直，在水平山道上A點位置測得瀑布頂端仰角的正切值為

  3

  2

  ，沿山道繼續(xù)走20m,抵達(dá)B點位置測得瀑布頂端的仰角為

  π

  3

  ；已知該同學(xué)沿山道行進(jìn)的方向與他第一次望向瀑布底端的方向所成角為

  π

  3

  ，則該瀑布的高度約為（　?。?/h2>

  A．60m

  B．90m

  C．108m

  D．120m
  組卷：19引用：1難度：0.6

  解析

• 6．某干燥塔的底面是半徑為1的圓面O，圓面有一個內(nèi)接正方形ABCD框架，在圓O的劣弧BC上有一點P，現(xiàn)在從點P出發(fā)，安裝PA，PB，PC三根熱管，則三根熱管的長度和的最大值為（　?。?/h2>

  A．4

  B． 2 3

  C． 3 3

  D． 2 6
  組卷：66引用：3難度：0.5

  解析

• 7．現(xiàn)有天平及重量為1，2，4，8的砝碼各一個，每一步，我們選取任意一個砝碼，將其放入天平的左邊或者右邊，直至所有砝碼全放到天平兩邊，但在放的過程中，發(fā)現(xiàn)天平的指針不會偏向分度盤的右邊，則這樣的方法共有（　?。┓N．

  A．105

  B．72

  C．60

  D．48
  組卷：332引用：2難度：0.5

  解析

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

• 21．隨機變量的概念是俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫在十九世紀(jì)中葉建立和提倡使用的．切比雪夫在數(shù)論、概率論、函數(shù)逼近論、積分學(xué)等方面均有所建樹，他證明了如下以他名字命名的離散型切比雪夫不等式：設(shè)X為離散型隨機變量，則P（|X-E（X）|≥λ）≤

  D

  （

  X

  ）

  λ

  2

  ，其中λ為任意大于0的實數(shù)．切比雪夫不等式可以使人們在隨機變量X的分布未知的情況下，對事件|X-λ|≤λ的概率作出估計．
  （1）證明離散型切比雪夫不等式；
  （2）應(yīng)用以上結(jié)論，回答下面問題：
  已知正整數(shù)n≥5．在一次抽獎游戲中，有n個不透明的箱子依次編號為1，2，?，n,編號為i（1≤i≤n）的箱子中裝有編號為0，1，?，i的i+1個大小、質(zhì)地均相同的小球．主持人邀請n位嘉賓從每個箱子中隨機抽取一個球，記從編號為i的箱子中抽取的小球號碼為X_i，并記X=

  n

  ∑

  i

  =

  1

  X

  i

  i

  ．對任意的n,是否總能保證P（X≤0.1n）≥0.01（假設(shè)嘉賓和箱子數(shù)能任意多）？并證明你的結(jié)論．
  附：可能用到的公式（數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì)）：
  對于離散型隨機變量X，X₁，X₂，?，X_n滿足X=

  n

  ∑

  i

  =

  1

  X

  i

  ，則有E（X）=

  n

  ∑

  i

  =

  1

  E

  （

  X

  i

  ）

  ．
  組卷：144引用：2難度：0.6

  解析

• 22．已知0≤m＜n,若函數(shù)f（x）在x∈[m,n]上的值域是[km,kn]，則稱f（x）是第k類函數(shù)．
  （1）若

  f

  （

  x

  ）

  =

  1

  -

  1

  x

  是第k類函數(shù)，求k的取值范圍；
  （2）若f（x）=4x-x²是第2類函數(shù)，求m,n的值．
  組卷：205引用：3難度：0.2

  解析