2021年安徽師大附中自主招生數(shù)學試卷

一.選擇題（本大題共6小題：每小題5分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把正確答案寫在答卷紙的指定位置上）：

• 1．楊輝三角是二項式（a+b）ⁿ展開式中各項系數(shù)的一種幾何排列．它最早出現(xiàn)在中國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中．利用楊輝三角，我們很容易知道（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³．設（3a-2b）³=ma³+na²b+pab²+qb³，則系數(shù)n=（　?。?/h2>

  A．54

  B．-54

  C．36

  D．-36
  組卷：174引用：1難度：0.6

  解析

• 2．有3個正方形如圖所示放置，陰影部分的面積依次記為S₁，S₂，則S₁：S₂等于（　?。?/h2>

  A．4：9

  B．2：3

  C．1：4

  D．1：2
  組卷：195引用：2難度：0.5

  解析

• 3．在數(shù)軸上點A、B對應的數(shù)分別是a、b,點A在表示-3和-2的兩點之間（包括這兩點）移動，點B在表示-1和0的兩點（包括這兩點）之間移動，則以下四個代數(shù)式的值，可能比2021大的是（　?。?/h2>

  A．b-a

  B． 1 b - a

  C． 1 b - 1 a

  D． 1 a - 1 b
  組卷：183引用：2難度：0.8

  解析

• 4．三角形的四心是指三角形的重心、外心、內(nèi)心、垂心．三角形的外心是三角形三邊的垂直平分線的交點（或三角形外接圓的圓心），三角形的內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分線的交點（或內(nèi)切圓的圓心），三角形的垂心是三角形三邊上的高所在直線的交點，三角形的重心是三角形三條中線的交點．三角形的四心具有豐富的數(shù)學知識與內(nèi)在聯(lián)系．當且僅當三角形是正三角形的時候，重心、垂心、內(nèi)心、外心四心合一，稱作正三角形的中心．如圖，H是△ABC的垂心，AH、BH、CH分別交BC、AC、AB于D、E、F，則H是△DEF的（　　）

  A．內(nèi)心

  B．外心

  C．重心

  D．垂心
  組卷：307引用：1難度：0.4

  解析

• 5．在凸四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=120°，BC=CD=10，則A、C兩點之間的距離是（　?。?/h2>

  A．9

  B．10

  C．11

  D．不能確定
  組卷：216引用：1難度：0.6

  解析

• 6．若在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，A、B、C三點的坐標分別為（3，0），（5，0），（0，4），點D在第一象限內(nèi)，且∠ADB=45°．則線段CD的長最小值是（　?。?/h2>

  A．5

  B．5- 2

  C．5+ 2

  D．4- 2
  組卷：520引用：4難度：0.6

  解析

二.填空題（本大題共9小題：每小題5分，共45分.請把正確答案寫在答卷紙的指定位置上）

• 7．公元前3世紀，古希臘數(shù)學家歐幾里德把人們公認的一些幾何知識作為定義和公理（公設），在此基礎(chǔ)上研究圖形的性質(zhì)，推導出一系列定理，組成演繹體系，寫出《幾何原本》．它的問世是整個數(shù)學發(fā)展史上意義極其深遠的大事，也是整個人類文明史上的里程碑．在這本書中，歐幾里德提出“三角形的內(nèi)角和是180°”這一定理，根據(jù)這一定理，我們可以得出“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和”的結(jié)論．進一步思考：多邊形的一個外角和與它不相鄰的內(nèi)角之間又有怎樣的關(guān)系呢？假設一個n邊形的某一個外角的度數(shù)是x°，與它不相鄰的所有內(nèi)角的和是y°，那么x與y的關(guān)系是

  ．
  組卷：57引用：1難度：0.6

  解析

三.解答題（本大題共7題，共75分，其中第16題7分、第17題8分、第18、19、20、21、22題每題12分，請把正確答案寫在答卷紙的指定位置上）

• 21．射影幾何的奠基人之一，法國數(shù)學家龐斯萊（1788～1867）發(fā)明過一種玩具，如圖，這種玩具用七根小棍做成，各個連接點均可活動．AF與AD等長，CD，DE，EF，F(xiàn)C等長，并且BC＜AD-DC，使用時，將A，B釘牢在平板上，并使A，B間的距離等于木棍BC的長，繞點B轉(zhuǎn)動C點，則點C在一個圓上運動，E點就會在一條直線上運動．這樣一邊畫圓一邊畫直線據(jù)此可設計出“狗熊走鋼絲”等好玩的游戲．
  問題探究：愛玩的小明看到這段材料，就想用數(shù)學家制作的這個玩具玩一把，可是身邊沒有這個玩具，怎么辦呢？想了又想，最后他想用幾何畫板來模擬這個玩具，于是，他用幾何畫板構(gòu)造了如圖所示的“玩具”，在電腦上玩了起來，確實發(fā)現(xiàn)當點C在⊙B上運動時，點E在一條直線上動，而且與AG垂直，垂足為H，怎么來說明這個結(jié)論呢？小明百思不得其解時，聰明的考生請你幫幫小明．
  問題解決：
  （1）求證：A，C，E在一條直線上；
  （2）求證：點E在一定直線上運動．
  組卷：74引用：1難度：0.2

  解析

• 22．已知p、q都是正實數(shù)，且p≠

  3

  q.
  （1）證明：

  3

  必在

  p

  q

  和

  p

  +

  3

  q

  p

  +

  q

  之間；
  （2）請問：

  p

  q

  和

  p

  +

  3

  q

  p

  +

  q

  這兩個數(shù)，哪一個更接近于

  3

  ，說明你的理由；
  （3）請你再寫出一個式子，使得它的值比

  p

  q

  和

  p

  +

  3

  q

  p

  +

  q

  的值更接近于

  3

  ．
  組卷：100引用：1難度：0.5

  解析