青島版九年級（下）中考題同步試卷：5.8 二次函數(shù)的應用（13）

一、解答題（共30小題）

• 1．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點（1，-1），且對稱軸為直線x=2，點P、Q均在拋物線上，點P位于對稱軸右側，點Q位于對稱軸左側，PA垂直對稱軸于點A，QB垂直對稱軸于點B，且QB=PA+1，設點P的橫坐標為m.
  （1）求這條拋物線所對應的函數(shù)關系式；
  （2）求點Q的坐標（用含m的式子表示）；
  （3）請?zhí)骄縋A+QB=AB是否成立，并說明理由；
  （4）拋物線y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0）經(jīng)過Q、B、P三點，若其對稱軸把四邊形PAQB分成面積比為1：5的兩部分，直接寫出此時m的值．
  組卷：866引用：50難度：0.1

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• 2．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+4與x軸的一個交點為A（-2，0），與y軸的交點為C，對稱軸是直線x=3，對稱軸與x軸交于點B．
  （1）求拋物線的函數(shù)表達式；
  （2）經(jīng)過B，C的直線l平移后與拋物線交于點M，與x軸交于點N，當以B，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形時，求出點M的坐標；
  （3）若點D在x軸上，在拋物線上是否存在點P，使得△PBD≌△PBC？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
  
  組卷：3422引用：54難度：0.1

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• 3．如圖1，拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）的頂點為M，直線y=m與x軸平行，且與拋物線交于點A，B，若△AMB為等腰直角三角形，我們把拋物線上A，B兩點之間的部分與線段AB圍成的圖形稱為該拋物線對應的準碟形，線段AB稱為碟寬，頂點M稱為碟頂，點M到線段AB的距離稱為碟高．
  （1）拋物線y=

  1

  2

  x²對應的碟寬為

  ；拋物線y=4x²對應的碟寬為

  ；拋物線y=ax²（a＞0）對應的碟寬為

  ；拋物線y=a（x-2）²+3（a＞0）對應的碟寬為

  ；
  （2）拋物線y=ax²-4ax-

  5

  3

  （a＞0）對應的碟寬為6，且在x軸上，求a的值；
  （3）將拋物線y=a_nx²+b_nx+c_n（a_n＞0）的對應準碟形記為F_n（n=1，2，3…），定義F₁，F(xiàn)₂，…，F(xiàn)_n為相似準碟形，相應的碟寬之比即為相似比．若F_n與F_n-1的相似比為

  1

  2

  ，且F_n的碟頂是F_n-1的碟寬的中點，現(xiàn)將（2）中求得的拋物線記為y₁，其對應的準碟形記為F₁．
  ①求拋物線y₂的表達式；
  ②若F₁的碟高為h₁，F(xiàn)₂的碟高為h₂，…F_n的碟高為h_n，則h_n=

  ，F(xiàn)_n的碟寬右端點橫坐標為

  ；F₁，F(xiàn)₂，…，F(xiàn)_n的碟寬右端點是否在一條直線上？若是，直接寫出該直線的表達式；若不是，請說明理由．
  
  組卷：1888引用：52難度：0.1

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• 4．如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點A（-1，0），B（5，0）兩點，直線y=-

  3

  4

  x+3與y軸交于點C，與x軸交于點D．點P是x軸上方的拋物線上一動點，過點P作PF⊥x軸于點F，交直線CD于點E．設點P的橫坐標為m.
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）若PE=5EF，求m的值；
  （3）若點E′是點E關于直線PC的對稱點，是否存在點P，使點E′落在y軸上？若存在，請直接寫出相應的點P的坐標；若不存在，請說明理由．
  組卷：4169引用：74難度：0.1

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• 5．如圖，直線AB的解析式為y=2x+4，交x軸于點A，交y軸于點B，以A為頂點的拋物線交直線AB于點D，交y軸負半軸于點C（0，-4）．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）將拋物線頂點沿著直線AB平移，此時頂點記為E，與y軸的交點記為F，
  ①求當△BEF與△BAO相似時，E點坐標；
  ②記平移后拋物線與AB另一個交點為G，則S_△EFG與S_△ACD是否存在8倍的關系？若有請直接寫出F點的坐標．
  組卷：4585引用：56難度：0.1

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• 6．如圖①，在平面直角坐標系中，一塊等腰直角三角板ABC的直角頂點A在y軸上，坐標為（0，-1），另一頂點B坐標為（-2，0），已知二次函數(shù)y=

  3

  2

  x²+bx+c的圖象經(jīng)過B、C兩點．現(xiàn)將一把直尺放置在直角坐標系中，使直尺的邊A′D′∥y軸且經(jīng)過點B，直尺沿x軸正方向平移，當A′D′與y軸重合時運動停止．
  （1）求點C的坐標及二次函數(shù)的關系式；
  （2）若運動過程中直尺的邊A′D′交邊BC于點M，交拋物線于點N，求線段MN長度的最大值；
  （3）如圖②，設點P為直尺的邊A′D′上的任一點，連接PA、PB、PC，Q為BC的中點，試探究：在直尺平移的過程中，當PQ=

  10

  2

  時，線段PA、PB、PC之間的數(shù)量關系．請直接寫出結論，并指出相應的點P與拋物線的位置關系．
  （說明：點與拋物線的位置關系可分為三類，例如，圖②中，點A在拋物線內，點C在拋物線上，點D′在拋物線外．）
  
  組卷：1127引用：53難度：0.1

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• 7．已知一個矩形紙片OABC，將該紙片放置在平面直角坐標系中，如圖，點A（5，0），C（0，

  5

  2

  ），把矩形紙片沿對角線AC折疊，使點O落在點D，AD、BC相交于點E．
  （1）求CE的長；
  （2）求直線AC的函數(shù)解析式及點D的坐標；
  （3）求經(jīng)過點C、D、B拋物線的解析式；
  （4）過點D作x軸的垂線，交直線AC于點F，點P是拋物線上的任意一點，過點P作x軸的垂線，交直線AC于點Q在拋物線上是否存在點P，使以點P、D、F、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．
  組卷：767引用：50難度：0.1

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• 8．如圖，在平面直角坐標系中，將拋物線y=

  3

  3

  x²先向右平移1個單位，再向下平移

  4

  3

  3

  個單位，得到新的拋物線y=ax²+bx+c,該拋物線與y軸交于點B，與x軸正半軸交于點C．
  （1）求點B和點C的坐標；
  （2）如圖1，有一條與y軸重合的直線l向右勻速平移，移動的速度為每秒1個單位，移動的時間為t秒，直線l與拋物線y=ax²+bx+c交于點P，當點P在x軸上方時，求出使△PBC的面積為2

  3

  的t值；
  （3）如圖2，將直線BC繞點B逆時針旋轉，與x軸交于點M（1，0），與拋物線y=ax²+bx+c交于點A，在y軸上有一點D（0，

  2

  3

  3

  ），在x軸上另取兩點E，F(xiàn)（點E在點F的左側），EF=2，線段EF在x軸上平移，當四邊形ADEF的周長最小時，先簡單描述如何確定此時點E的位置？再直接寫出點E的坐標．
  
  組卷：1072引用：50難度：0.1

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• 9．如圖，拋物線y=-

  1

  2

  x

  2

  +bx+3與y軸相交于點E，拋物線對稱軸x=2交拋物線于點M，交x軸于點F，點A在x軸上，A（

  1

  2

  ，0），B（2，m）是射線FN上一動點，連接AB，將線段AB繞點A逆時針旋轉90°得到線段AC，過點C作y軸的平行線交拋物線于點D．
  （1）求b的值；
  （2）求點C的坐標（用含m的代數(shù)式表示）；
  （3）當以O、E、D、C為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點B的坐標．
  
  組卷：488引用：50難度：0.1

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• 10．在平面直角坐標系中（如圖），已知拋物線y=

  2

  3

  x²+bx+c與x軸交于點A（-1，0）和點B，與y軸交于點C（0，-2）．
  （1）求該拋物線的表達式，并寫出其對稱軸；
  （2）點E為該拋物線的對稱軸與x軸的交點，點F在對稱軸上，以點A、C、E、F為頂點的四邊形ACEF為梯形，求點F的坐標；
  （3）點D為該拋物線的頂點，設點P（t,0），且t＞3，如果△BDP和△CDP的面積相等，求t的值．
  組卷：1933引用：50難度：0.2

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一、解答題（共30小題）

• 29．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A的坐標是（4，0），并且OA=OC=4OB，動點P在過A，B，C三點的拋物線上．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）是否存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由；
  （3）過動點P作PE垂直于y軸于點E，交直線AC于點D，過點D作x軸的垂線．垂足為F，連接EF，當線段EF的長度最短時，求出點P的坐標．
  
  組卷：5168引用：61難度：0.1

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• 30．如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-3，0）、B（1，0）、C（0，3）三點，其頂點為D，連接AD，點P是線段AD上一個動點（不與A、D重合），過點P作y軸的垂線，垂足點為E，連接AE．
  （1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點D的坐標；
  （2）如果P點的坐標為（x,y），△PAE的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關系式，直接寫出自變量x的取值范圍，并求出S的最大值；
  （3）在（2）的條件下，當S取到最大值時，過點P作x軸的垂線，垂足為F，連接EF，把△PEF沿直線EF折疊，點P的對應點為點P′，求出P′的坐標，并判斷P′是否在該拋物線上．
  組卷：3068引用：65難度：0.1

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