2021-2022學(xué)年江蘇省南京師大蘇州實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

• 1．復(fù)數(shù)

  z

  =

  2

  +

  i

  1

  -

  i

  則在復(fù)平面內(nèi)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（　?。?/h2>

  A．（1，0）

  B．（0，1）

  C． （ 1 2 ， 3 2 ）

  D． （ - 4 3 ，- 5 3 ）
  組卷：32引用：2難度：0.8

  解析

• 2．已知向量

  a

  =（1，3），

  b

  =（-6，m），若

  a

  與

  b

  垂直，則實(shí)數(shù)m=（　?。?/h2>

  A．-2

  B．2

  C．-8

  D．8
  組卷：132引用：2難度：0.8

  解析

• 3．已知某圓錐的母線長(zhǎng)為3，底面圓的半徑為2．則圓錐的表面積為（　　）

  A．10π

  B．12π

  C．14π

  D．16π
  組卷：23引用：2難度：0.6

  解析

• 4．當(dāng)復(fù)數(shù)z滿足|z-3+4i|=1時(shí)，則|z-2|的最大值是（　?。?/h2>

  A． 41 +1

  B． 17 +1

  C． 15 +1

  D． 13 +1
  組卷：159引用：3難度：0.8

  解析

• 5．在△ABC中，已知a,b,c分別為角A，B，C的對(duì)邊且∠A=120°，若

  S

  △

  ABC

  =

  3

  3

  2

  且2sinB=3sinC，則△ABC的周長(zhǎng)等于（　　）

  A． 5 + 7

  B．12

  C． 10 + 7

  D． 5 + 19
  組卷：5引用：1難度：0.6

  解析

• 6．已知O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若

  （

  OA

  +

  OB

  ）

  ?

  AB

  =

  （

  OB

  +

  OC

  ）

  ?

  BC

  =

  0

  ，AB=4，AC=2，則

  AO

  ?

  BC

  =（　?。?/h2>

  A．-8

  B．8

  C．-6

  D．16
  組卷：120引用：3難度：0.6

  解析

• 7．《數(shù)書九章》是中國南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，全書十八卷共八十一個(gè)問題，分為九類，每類九個(gè)問題，《數(shù)書九章》中記錄了秦九韶的許多創(chuàng)造性成就，其中在卷五“三斜求積”中提出了已知三角形三邊a,b,c求面積的公式，這與古希臘的海倫公式完成等價(jià)，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)，一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即S=

  1

  4

  [

  c

  2

  a

  2

  -

  （

  c

  2

  +

  a

  2

  -

  b

  2

  2

  ）

  2

  ]

  ，現(xiàn)有周長(zhǎng)為10+2

  7

  的△ABC滿足sinA：sinB：sinC=2：3：

  7

  ，則用以上給出的公式求得△ABC的面積為（　?。?/h2>

  A． 6 3

  B． 4 7

  C． 8 7

  D．12
  組卷：310引用：14難度：0.7

  解析

四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

• 21．如圖所示，某鎮(zhèn)有一塊空地△OAB，其中OA=3km,∠OAM=60°，∠AOB=90°．當(dāng)?shù)卣?jì)劃將這塊空地改造成一個(gè)旅游景點(diǎn)，擬在中間挖一個(gè)人工湖△OMN，其中M，N都在邊AB上，且∠MON=30°，挖出的泥土堆放在△OAM地帶上形成假山，剩下的△OBN地帶開設(shè)兒童游樂場(chǎng)．為安全起見，需在△OAN的周圍安裝防護(hù)網(wǎng)．設(shè)∠AOM=θ．
  （1）當(dāng)

  AM

  =

  3

  2

  km

  時(shí)，求θ的值，并求此時(shí)防護(hù)網(wǎng)的總長(zhǎng)度；
  （2）若θ=15°，問此時(shí)人工湖用地△OMN的面積是堆假山用地△OAM的面積的多少倍？
  （3）為節(jié)省投入資金，人工湖△OMN的面積要盡可能小，問如何設(shè)計(jì)施工方案，可使△OMN的面積最小？最小面積是多少？
  組卷：231引用：8難度：0.4

  解析

• 22．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)f（x）=asinx+bcosx,稱向量

  OM

  =（a,b）為函數(shù)f（x）的相伴特征向量，同時(shí)稱函數(shù)f（x）為向量

  OM

  的相伴函數(shù)．
  （1）設(shè)函數(shù)

  g

  （

  x

  ）

  =

  sin

  （

  x

  +

  5

  π

  6

  ）

  -

  sin

  （

  3

  π

  2

  -

  x

  ）

  ，試求g（x）的相伴特征向量

  OM

  ；
  （2）記向量

  ON

  =（1，

  3

  ）的相伴函數(shù)為f（x），求當(dāng)

  f

  （

  x

  ）

  =

  8

  5

  且x∈（

  -

  π

  3

  ，

  π

  6

  ）時(shí)，sinx的值；
  （3）已知A（-2，3），B（2，6），

  OT

  =（

  -

  3

  ，1）為

  h

  （

  x

  ）

  =

  msin

  （

  x

  -

  π

  6

  ）

  的相伴特征向量，

  φ

  （

  x

  ）

  =

  h

  （

  x

  2

  -

  π

  3

  ）

  ，請(qǐng)問在y=φ（x）的圖象上是否存在一點(diǎn)P，使得

  AP

  ⊥

  BP

  ．若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
  組卷：336引用：16難度：0.5

  解析