22.如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差,那么稱這個(gè)正整數(shù)為“智慧數(shù)”,兩個(gè)正整數(shù)為它的“智慧分解”.
例如,因?yàn)?6=5
2-3
2,所以16就是一個(gè)智慧數(shù),而5和3則是16的智慧分解.那么究竟哪些數(shù)為智慧數(shù)?第2022個(gè)智慧數(shù)是否存在,若存在,又是哪個(gè)數(shù)?為此,小明和小穎展開了如下探究.
小穎的方法是通過計(jì)算,一個(gè)個(gè)羅列出來:3=2
2-1
2,5=3
2-2
2,7=4
2-3
2,9=5
2-4
2,…
小明認(rèn)為小穎的方法太麻煩,他想到:
設(shè)兩個(gè)數(shù)分別為k+1,k,其中k≥1,且k為整數(shù).
則(k+1)
2-k
2=(k+1+k)(k+1-k)=2k+1.
(1)根據(jù)上述探究,可以得出:除1外,所有
都是智慧數(shù),并請(qǐng)直接寫出11,15的智慧分解;
(2)繼續(xù)探究,他們發(fā)現(xiàn)8=3
2-1
2,12=4
2-2
2,所以8和12均是智慧數(shù),由此,他們猜想:4k(k≥2,且k為整數(shù))均為智慧數(shù).請(qǐng)證明他們的猜想;
(3)根據(jù)以上所有探究,請(qǐng)直接寫出第2023個(gè)智慧數(shù),以及它的智慧分解.