2023-2024學(xué)年北京五十五中高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

• 1．已知集合A={x|-2≤x≤3}，B={x|x＞0}，則A∪B=（　　）

  A．[-2，3]

  B．[0，3]

  C．（0，+∞）

  D．[-2，+∞）
  組卷：287引用：6難度：0.8

  解析

• 2．已知i是虛數(shù)單位，則

  2

  -

  i

  1

  +

  2

  i

  =（　?。?/h2>

  A．-i

  B． 4 5 + 3 5 i

  C．-1

  D． 4 5 -i
  組卷：16引用：7難度：0.9

  解析

• 3．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)且在（0，+∞）上單調(diào)遞增的函數(shù)是（　?。?/h2>

  A．y=log2x

  B．y=2|x|+1

  C．y=sinx

  D．y=-x2
  組卷：36引用：2難度：0.7

  解析

• 4．

  （

  2

  x

  3

  -

  1

  x

  ）

  7

  的展開式中常數(shù)項(xiàng)是（　?。?/h2>

  A．14

  B．-14

  C．42

  D．-42
  組卷：263引用：9難度：0.9

  解析

• 5．已知兩條直線m,n,兩個(gè)平面α，β，下面說法正確的是（　?。?/h2>

  A． α ⊥ β m ? α n ? β ? m ⊥ n	B． α ∥ β m ? α n ? β ? m ∥ n
  C． α ⊥ β m ? α ? m ⊥ β	D． α ∥ β m ? α ? m ∥ β
  組卷：124引用：3難度：0.5

  解析

• 6．在△ABC中“

  BA

  ?

  BC

  =

  CA

  ?

  CB

  ”是“△ABC是等腰三角形”的（　?。?/h2>

  A．充分不必要條件	B．必要不充分條件
  C．充要條件	D．既不充分又不必要條件
  組卷：76引用：2難度：0.7

  解析

• 7．函數(shù)f（x）=sinωx（ω＞0）的圖象向左平移

  π

  3

  個(gè)單位長度，所得圖象經(jīng)過點(diǎn)

  （

  2

  π

  3

  ，

  0

  ）

  ，則ω的最小值是（　?。?/h2>

  A． 3 2

  B．2

  C．1

  D． 1 2
  組卷：96引用：1難度：0.5

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三、解答題：本大題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

• 20．已知函數(shù)f（x）=x-alnx,

  g

  （

  x

  ）

  =

  -

  1

  +

  a

  x

  （

  a

  ＞

  0

  ）

  ．
  （1）若f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為y=1，求實(shí)數(shù)a的值；
  （2）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）g（x），求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
  （3）若存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＜g（x₀）成立，求a的取值范圍．
  組卷：47引用：2難度：0.2

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• 21．約數(shù)，又稱因數(shù)．它的定義如下：若整數(shù)a除以整數(shù)m（m≠0）除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就稱a為m的倍數(shù)，稱m為a的約數(shù)．
  設(shè)正整數(shù)a共有k個(gè)正約數(shù)，即為a₁，a₂，…，a_k-1，a_k（a₁＜a₂＜...＜a_k）．
  （Ⅰ）當(dāng)k=4時(shí)，若正整數(shù)a的k個(gè)正約數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，請(qǐng)寫出一個(gè)a的值；
  （Ⅱ）當(dāng)k≥4時(shí)，若a₂-a₁，a₃-a₂，...a_k-a_k-1構(gòu)成等比數(shù)列，求正整數(shù)a；
  （Ⅲ）記A=a₁a₂+a₂a₃+...+a_k-1a_k，求證：A＜a²．
  組卷：368引用：14難度：0.3

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