2023-2024學(xué)年北京十二中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題.本題共12小題，每題5分，共60分.在每題給的四個選項中，只有一項符合題目要求.

• 1．直線y=-2x+1的一個方向向量是（　　）

  A．（1，-2）

  B．（2，-1）

  C．（1，2）

  D．（2，1）
  組卷：51引用：2難度：0.8

  解析
• 2．以（1，2）為圓心且過原點的圓的方程為（　?。?/div>

  A．（x-1）2+（y-2）2= 5	B．（x+1）2+（y+2）2= 5
  C．（x-1）2+（y-2）2=5	D．（x+1）2+（y+2）2=5
  組卷：122引用：1難度：0.8

  解析
• 3．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E為上底面A₁C₁的中心，若

  AE

  =

  A

  A

  1

  +

  x

  AB

  +

  y

  AD

  ，則x,y的值是（　　）

  A． x = 1 2 ， y = 1 2

  B．x=1， y = 1 2

  C． x = 1 2 ，y=1

  D．x=1，y=1
  組卷：101引用：10難度：0.9

  解析
• 4．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，設(shè)AD=AA₁=1，AB=2，則

  B

  D

  1

  ?

  AD

  等于（　?。?/div>

  A．1

  B．2

  C．3

  D． 6 3
  組卷：271引用：10難度：0.7

  解析
• 5．“a=1”是“直線ax+（a-1）y-1=0與直線（a-1）x+ay+1=0垂直”的（　?。?/div>

  A．充分而不必要條件	B．必要而不充分條件
  C．充分必要條件	D．既不充分也不必要條件
  組卷：140引用：5難度：0.8

  解析
• 6．下面結(jié)論正確的個數(shù)是（　?。?br />①已知

  a

  ，

  b

  ，

  c

  是不共面的三個向量，則

  c

  ，

  a

  +

  c

  ，

  a

  -

  c

  能構(gòu)成空間的一個基底；
  ②任意向量

  a

  ，

  b

  ，

  c

  （

  a

  ≠

  0

  ）

  滿足

  a

  ?

  b

  =

  a

  ?

  c

  ，則

  b

  =

  c

  ；
  ③已知向量

  a

  =

  （

  1

  ，

  1

  ，

  x

  ）

  ，

  b

  =

  （

  -

  3

  ，

  x

  ,

  9

  ）

  ，若

  a

  與

  b

  共線，則x=-3．

  A．3

  B．2

  C．1

  D．0
  組卷：104引用：2難度：0.7

  解析
• 7．已知圓C的方程為（x-3）²+（y-4）²=1，過直線l：3x+4y-5=0上任意一點作圓C的切線，則切線長的最小值為（　?。?/div>

  A．4

  B． 15

  C． 17

  D．5
  組卷：118引用：2難度：0.6

  解析

三、解答題.本題共5小題，共60分.

• 22．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是邊長為2的正三角形，側(cè)面ACC₁A₁是菱形，平面ACC₁A₁⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是棱A₁C₁，BC的中點，G是棱CC₁上靠近點C的三等分點．
  （1）證明：EF∥平面ABB₁A₁；
  （2）從①三棱錐C₁-ABC的體積為1；
  ②直線C₁C與底面ABC所成的角為60°；
  ③異面直線BB₁與AE所成的角為30°．
  這三個條件中選擇一個作為已知．
  （ⅰ）判斷點A是否在平面EFG內(nèi)，并說明理由；
  （ⅱ）求平面ACC₁與平面EFG夾角的余弦值．
  組卷：129引用：1難度：0.3

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• 23．記集合Rⁿ={（x₁，x₂，?，x_n）|x_i∈R，i=1，2，?，n}（n≥2，n∈N），對于

  A

  （

  a

  1

  ，

  a

  2

  ，

  ?

  ，

  a

  n

  ）

  ∈

  R

  n

  ，

  B

  （

  b

  1

  ，

  b

  2

  ，

  ?

  ，

  b

  n

  ）

  ∈

  R

  n

  ，定義：

  AB

  =

  （

  b

  1

  -

  a

  1

  ，

  b

  2

  -

  a

  2

  ，

  ?

  ，

  b

  n

  -

  a

  n

  ）

  為由點A，B確定的廣義向量，

  d

  （

  AB

  ）

  =

  |

  b

  1

  -

  a

  1

  |

  +

  |

  b

  2

  -

  a

  2

  |

  +

  ?

  +

  |

  b

  n

  -

  a

  n

  |

  為廣義向量的絕對長度，
  （1）已知A（1，2，-1，0）∈R⁴，B（0，2，2，1）∈R⁴，計算

  d

  （

  AB

  ）

  ；
  （2）設(shè)A，B，C∈Rⁿ，證明：

  d

  （

  AC

  ）

  +

  d

  （

  CB

  ）

  ≥

  d

  （

  AB

  ）

  ；
  （3）對于給定A，B∈Rⁿ，若

  P

  （

  p

  1

  ，

  p

  2

  ，

  ?

  ，

  p

  n

  ）

  ∈

  R

  n

  滿足

  d

  （

  AP

  ）

  +

  d

  （

  PB

  ）

  =

  d

  （

  AB

  ）

  且p_i∈Z（i=1，2，?，n），則稱P為Rⁿ中關(guān)于A，B的絕對共線整點，已知A（1，0，3），B（6，5，5）∈R³，
  ①R³中關(guān)于A，B的絕對共線整點的個數(shù)為_____；
  ②若從R³中關(guān)于A，B的絕對共線整點中任取m個，其中必存在4個點（x₁，y₁，z），（x₂，y₁，z），（x₃，y₂，z），（x₄，y₂，z）（x₁≠x₂≠x₃≠x₄，y₁≠y₂），滿足x₁+x₂=x₃+x₄，則m的最小值為_____．
  組卷：54引用：5難度：0.3

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