華師大新版九年級(jí)（下）中考題單元試卷：第26章 二次函數(shù)（18）

一、解答題（共30小題）

• 1．如圖，拋物線y=-x²+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，直線AD與y軸交于點(diǎn)E．
  
  （1）求直線AD的解析式；
  （2）如圖1，直線AD上方的拋物線上有一點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G，作FH平行于x軸交直線AD于點(diǎn)H，求△FGH周長的最大值；
  （3）點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以A，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以AM為邊的矩形．若點(diǎn)T和點(diǎn)Q關(guān)于AM所在直線對稱，求點(diǎn)T的坐標(biāo)．
  組卷：4992引用：52難度：0.5

  解析

• 2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（10，0），以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半圓，B為半圓上一點(diǎn)，連接AB并延長至C，使BC=AB，過C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，交線段OB于點(diǎn)E，已知CD=8，拋物線經(jīng)過O、E、A三點(diǎn)．
  （1）∠OBA=

  °．
  （2）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
  （3）若P為拋物線上位于第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P、O、A、E為頂點(diǎn)的四邊形面積記作S，則S取何值時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有3個(gè)？
  組卷：2312引用：52難度：0.5

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• 3．如圖①，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與二次函數(shù)y=x²的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為m,n（m＜0，n＞0）．
  （1）當(dāng)m=-1，n=4時(shí)，k=

  ，b=

  ；
  當(dāng)m=-2，n=3時(shí)，k=

  ，b=

  ；
  （2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，用含m,n的代數(shù)式分別表示k與b,并證明你的結(jié)論；
  （3）利用（2）中的結(jié)論，解答下列問題：
  如圖②，直線AB與x軸，y軸分別交于點(diǎn)C，D，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)E，連接AO，OE，ED．
  ①當(dāng)m=-3，n＞3時(shí)，求

  S

  △

  ACO

  S

  四邊形

  AOED

  的值（用含n的代數(shù)式表示）；
  ②當(dāng)四邊形AOED為菱形時(shí)，m與n滿足的關(guān)系式為

  ；
  當(dāng)四邊形AOED為正方形時(shí)，m=

  ，n=

  ．
  
  組卷：1884引用：50難度：0.5

  解析

• 4．拋物線y=

  1

  4

  x²-

  3

  2

  x+2與x軸交于A，B兩點(diǎn)（OA＜OB），與y軸交于點(diǎn)C．
  （1）求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；
  （2）點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E也從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜2）．
  ①過點(diǎn)E作x軸的平行線，與BC相交于點(diǎn)D（如圖所示），當(dāng)t為何值時(shí)，

  1

  OP

  +

  1

  ED

  的值最小，求出這個(gè)最小值并寫出此時(shí)點(diǎn)E，P的坐標(biāo)；
  ②在滿足①的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)F，使△EFP為直角三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
  組卷：2332引用：53難度：0.5

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• 5．如圖，一小球從斜坡O點(diǎn)處拋出，球的拋出路線可以用二次函數(shù)y=-x²+4x刻畫，斜坡可以用一次函數(shù)y=

  1

  2

  x刻畫．
  （1）請用配方法求二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)P的坐標(biāo)；
  （2）小球的落點(diǎn)是A，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
  （3）連接拋物線的最高點(diǎn)P與點(diǎn)O、A得△POA，求△POA的面積；
  （4）在OA上方的拋物線上存在一點(diǎn)M（M與P不重合），△MOA的面積等于△POA的面積．請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
  組卷：3279引用：64難度：0.5

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• 6．在平面直角坐標(biāo)系中，已知y=-

  1

  2

  x²+bx+c（b、c為常數(shù)）的頂點(diǎn)為P，等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-1），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，3），直角頂點(diǎn)B在第四象限．
  （1）如圖，若拋物線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，求拋物線的解析式．
  （2）平移（1）中的拋物線，使頂點(diǎn)P在直線AC上并沿AC方向滑動(dòng)距離為

  2

  時(shí)，試證明：平移后的拋物線與直線AC交于x軸上的同一點(diǎn)．
  （3）在（2）的情況下，若沿AC方向任意滑動(dòng)時(shí)，設(shè)拋物線與直線AC的另一交點(diǎn)為Q，取BC的中點(diǎn)N，試探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，請說明理由．
  
  組卷：1984引用：51難度：0.5

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• 7．如圖，已知拋物線y=-

  1

  2

  x²+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A（0，8）、B（8，0）和點(diǎn)E，動(dòng)點(diǎn)C從原點(diǎn)O開始沿OA方向以每秒1個(gè)單位長度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)B開始沿BO方向以每秒1個(gè)單位長度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)C、D同時(shí)出發(fā)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D到達(dá)原點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)C、D停止運(yùn)動(dòng)．
  （1）直接寫出拋物線的解析式：

  ；
  （2）求△CED的面積S與D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)解析式；當(dāng)t為何值時(shí)，△CED的面積最大？最大面積是多少？
  （3）當(dāng)△CED的面積最大時(shí)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P（點(diǎn)E除外），使△PCD的面積等于△CED的最大面積？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
  組卷：4255引用：61難度：0.5

  解析

• 8．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-

  9

  2

  ），且與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0）．P點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為m.
  （1）求拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式；
  （2）若動(dòng)點(diǎn)P滿足∠PAO不大于45°，求P點(diǎn)的橫坐標(biāo)m的取值范圍；
  （3）當(dāng)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)m＜0時(shí)，過P點(diǎn)作y軸的垂線PQ，垂足為Q．問：是否存在P點(diǎn)，使∠QPO=∠BCO？若存在，請求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
  組卷：2174引用：51難度：0.5

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• 9．已知：拋物線y=x²+（2m-1）x+m²-1經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減?。?br />（1）求拋物線的解析式，并寫出y＜0時(shí)，對應(yīng)x的取值范圍；
  （2）設(shè)點(diǎn)A是該拋物線上位于x軸下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)D，再作AB⊥x軸于點(diǎn)B，DC⊥x軸于點(diǎn)C．
  ①當(dāng)BC=1時(shí)，直接寫出矩形ABCD的周長；
  ②設(shè)動(dòng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a,b），將矩形ABCD的周長L表示為a的函數(shù)并寫出自變量的取值范圍，判斷周長是否存在最大值？如果存在，求出這個(gè)最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．
  組卷：1615引用：53難度：0.5

  解析

• 10．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-2，0），B（4，0），C（0，3）三點(diǎn)．
  （1）求該拋物線的解析式；
  （2）在y軸上是否存在點(diǎn)M，使△ACM為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有滿足要求的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
  （3）若點(diǎn)P（t,0）為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），過P作y軸的平行線，記該直線右側(cè)與△ABC圍成的圖形面積為S，試確定S與t的函數(shù)關(guān)系式．
  組卷：2575引用：52難度：0.5

  解析

一、解答題（共30小題）

• 29．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-

  2

  3

  x²-

  4

  3

  x+2與x軸交于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)A，拋物線的頂點(diǎn)為D．
  （1）填空：點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

   

  ，

   

  ），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

   

  ，

   

  ），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

   

  ，

   

  ），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

   

  ，

   

  ）；
  （2）點(diǎn)P是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合）
  ①過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)E，若PE=PC，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
  ②在①的條件下，點(diǎn)F是坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，且點(diǎn)F到EA和ED的距離相等，請直接寫出線段EF的長；
  ③若點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)Q不與點(diǎn)A、B重合），點(diǎn)R是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)R不與點(diǎn)A、C重合），請直接寫出△PQR周長的最小值．
  
  組卷：3028引用：50難度：0.5

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• 30．如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+

  3

  2

  x+c的圖象與y軸交于點(diǎn)A（0，4），與x軸交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)C坐標(biāo)為（8，0），連接AB、AC．
  （1）請直接寫出二次函數(shù)y=ax²+

  3

  2

  x+c的表達(dá)式；
  （2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；
  （3）若點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)A、N、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，請直接寫出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)；
  （4）若點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B、C重合），過點(diǎn)N作NM∥AC，交AB于點(diǎn)M，當(dāng)△AMN面積最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．
  
  組卷：4823引用：62難度：0.5

  解析