2020-2021學年江蘇省南通中學高三（上）考前熱身數(shù)學試卷（12月份）

一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）

• 1．集合A={1，x,y}，B={1，x²，2y}，若A=B，則實數(shù)x的取值集合為（　?。?/h2>

  A．{ 1 2 }

  B．{ 1 2 ，- 1 2 }

  C．{0， 1 2 }

  D．{0， 1 2 ，- 1 2 }
  組卷：1605引用：18難度：0.9

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• 2．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是增函數(shù)，設(shè)a=f（-

  3

  ），b=f（log₃

  1

  2

  ），c=f（

  4

  3

  ），則a、b、c的大小關(guān)系是（　?。?/h2>

  A．a(chǎn)＜c＜b

  B．b＜a＜c

  C．b＜c＜a

  D．c＜b＜a
  組卷：216引用：21難度：0.9

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• 3．歐拉公式e^ix=cosx+isinx（i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學中的天橋”，根據(jù)歐拉公式可知，e²ⁱ表示的復數(shù)在復平面中位于（　?。?/h2>

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  組卷：712引用：49難度：0.9

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• 4．電子鐘一天顯示的時間是從00：00到23：59的每一時刻都由四個數(shù)字組成，則一天中任一時刻的四個數(shù)字之和為23的概率為（　?。?/h2>

  A． 1 180

  B． 1 288

  C． 1 360

  D． 1 480
  組卷：502引用：20難度：0.9

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• 5．函數(shù)y=

  e

  x

  +

  e

  -

  x

  e

  x

  -

  e

  -

  x

  的圖象大致為（　?。?/h2>

  A．	B．
  C．	D．
  組卷：2124引用：120難度：0.9

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• 6．如圖所示，扇形OPQ的半徑為2，圓心角為

  π

  3

  ，C是扇形弧上的動點，四邊形ABCD是扇形的內(nèi)接矩形，則S_ABCD的最大值是（　?。?/h2>

  A． 2 3 3

  B．2 3

  C． 3

  D． 2 3
  組卷：362引用：3難度：0.9

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• 7．將離心率為e₁的雙曲線C₁的實半軸長a和虛半軸長b（a≠b）同時增加m（m＞0）個單位長度，得到離心率為e₂的雙曲線C₂，則（　?。?/h2>

  A．對任意的a,b,e1＞e2

  B．當a＞b時，e1＞e2；當a＜b時，e1＜e2

  C．對任意的a,b,e1＜e2

  D．當a＞b時，e1＜e2；當a＜b時，e1＞e2
  組卷：2397引用：16難度：0.9

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四、解答題（本題共6小題，70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）

• 21．已知橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的長軸長為4，離心率為

  1

  2

  ．
  （1）求橢圓C的方程；
  （2）已知點A（a,0），B（0，b），直線l交橢圓C于P，Q兩點（點A，B位于直線l的兩側(cè)）
  （i）若直線l過坐標原點O，設(shè)直線AP，AQ，BP，BQ的斜率分別為k₁，k₂，k₃，k₄，求證：k₁k₂+k₃k₄為定值；
  （ii）若直線l的斜率為

  3

  2

  ，求四邊形APBQ的面積的最大值．
  組卷：407引用：3難度：0.1

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• 22．設(shè)函數(shù)f（x）=（x+a）lnx,g（x）=

  x

  2

  e

  x

  ．已知曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線2x-y=0平行．
  （Ⅰ）求a的值；
  （Ⅱ）是否存在自然數(shù)k,使得方程f（x）=g（x）在（k,k+1）內(nèi)存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，請說明理由；
  （Ⅲ）設(shè)函數(shù)m（x）=min{f（x），g（x）}（min{p,q}表示p,q中的較小值），求m（x）的最大值．
  組卷：2342引用：19難度：0.5

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