2013-2014學(xué)年湖南省益陽(yáng)市南縣一中高三（上）同步練習(xí)數(shù)學(xué)試卷（理科）（實(shí)驗(yàn)班）

一、解答題（共10小題，滿分0分）

• 1．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=

  2

  5

  ，且對(duì)任意n∈N^*，都有

  a

  n

  a

  n

  +

  1

  =

  4

  a

  n

  +

  2

  a

  n

  +

  1

  +

  2

  ．
  （Ⅰ）求證：數(shù)列

  {

  1

  a

  n

  }

  為等差數(shù)列；
  （Ⅱ）試問數(shù)列{a_n}中a_k?a_k+1（k∈N^*）是否仍是{a_n}中的項(xiàng)？如果是，請(qǐng)指出是數(shù)列的第幾項(xiàng)；如果不是，請(qǐng)說明理由．
  （Ⅲ）令

  b

  n

  =

  2

  3

  （

  1

  a

  n

  +

  5

  ）

  ，證明：對(duì)任意n∈N*，都有不等式

  2

  b

  n

  ＞

  b

  n

  2

  成立．
  組卷：198引用：4難度：0.5

  解析

• 2．已知集合{1，2，3，4，…，n}（n≥3），若該集合具有下列性質(zhì)的子集：每個(gè)子集至少含有2個(gè)元素，且每個(gè)子集中任意兩個(gè)元素之差的絕對(duì)值大于1，則稱這些子集為T子集，記T子集的個(gè)數(shù)為a_n．
  （1）當(dāng)n=5時(shí)，寫出所有T子集；
  （2）求a₁₀；
  （3）記S_n=

  a

  3

  2

  3

  +

  a

  4

  2

  4

  +

  a

  5

  2

  5

  +…+

  a

  n

  2

  n

  ，求證：S_n＜2．
  組卷：88引用：2難度：0.1

  解析

• 3．已知數(shù)集A={a₁，a₂，…，a_n}（0≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥3）具有性質(zhì)P：對(duì)?i,j（1≤i≤j≤n），a_j+a_i與a_j-a_i兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于A．
  （1）分別判斷數(shù)集{0，1，3}與數(shù)集{0，2，4，6}是否具有性質(zhì)P，說明理由；
  （2）求證：a₁+a₂+…+a_n=

  n

  2

  a_n；
  （3）已知數(shù)集A={a₁，a₂…，a₈}具有性質(zhì)P．證明：數(shù)列a₁，a₂…a₈是等差數(shù)列．
  組卷：45引用：2難度：0.1

  解析

一、解答題（共10小題，滿分0分）

• 9．已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且a₁＜a₂＜…＜a_n，設(shè)集合A_k={x|x=

  n

  ∑

  i

  =

  1

  λ_ia_i，λ_i=-1或λ_i=0，或λ_i=1}（1≤k≤n）．
  性質(zhì)1：若對(duì)于?x∈A_k，存在唯一一組λ_i，（i=1，2，…，k）使x=

  n

  ∑

  i

  =

  1

  λ_ia_i成立，則稱數(shù)列{a_n}為完備數(shù)列，當(dāng)k取最大值時(shí)稱數(shù)列{a_n}為k階完備數(shù)列．
  性質(zhì)2：若記m_k=

  n

  ∑

  i

  =

  1

  a_i（1≤k≤n），且對(duì)于任意|x|≤m_k，k∈Z，都有x∈A_K成立，則稱數(shù)列P{a_n}為完整數(shù)列，當(dāng)k取最大值時(shí)稱數(shù)列{a_n}為k階完整數(shù)列．
  性質(zhì)3：若數(shù)列{a_n}同時(shí)具有性質(zhì)1及性質(zhì)2，則稱此數(shù)列{a_n}為完美數(shù)列，當(dāng)K取最大值時(shí){a_n}稱為K階完美數(shù)列；
  （Ⅰ）若數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n-1，求集合A₂，并指出{a_n}分別為幾階完備數(shù)列，幾階完整數(shù)列，幾階完美數(shù)列；
  （Ⅱ）若數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=10^n-1，求證：數(shù)列{a_n}為n階完備數(shù)列，并求出集合A_n中所有元素的和S_n．
  （Ⅲ）若數(shù)列{a_n}為n階完美數(shù)列，試寫出集合A_n，并求數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式．
  組卷：102引用：4難度：0.1

  解析

• 10．若A₁，A₂，…，A_m為集合A={1，2，…，n}（n≥2且n∈N^*）的子集，且滿足兩個(gè)條件：
  ①A₁∪A₂∪…∪A_m=A；
  ②對(duì)任意的{x,y}?A，至少存在一個(gè)i∈{1，2，3，…，m}，使A_i∩{x,y}={x}或{y}．則稱集合組A₁，A₂，…，A_m具有性質(zhì)P．
  如下，作n行m列數(shù)表，定義數(shù)表中的第k行第1列的數(shù)為a_ki=

  1 （ k ∈ A i ）

  0 （ k ? A i ）

  
  

  a11	a12	…	a1m
  a21	a22	…	a2m
  ?	?	?	?
  an1	an2	…	anm

  （Ⅰ）當(dāng)n=4時(shí)，判斷下列兩個(gè)集合組是否具有性質(zhì)P，如果是請(qǐng)畫出所對(duì)應(yīng)的表格，如果不是請(qǐng)說明理由；
  集合組1：A₁={1，3}，A2={2，3}，A3={4}；集合組2：A1={2，3，4}，A2={2，3}，A3={1，4}．
  （Ⅱ）當(dāng)n=7時(shí)，若集合組A₁，A₂，A₃具有性質(zhì)P，請(qǐng)先畫出所對(duì)應(yīng)的7行3列的一個(gè)數(shù)表，再依此表格分別寫出集合A₁，A₂，A₃；
  （Ⅲ）當(dāng)n=100時(shí)，集合組A₁，A₂，…，A_t是具有性質(zhì)P且所含集合個(gè)數(shù)最小的集合組，求t的值及|A₁|+|A₂|+…|A_t|的最小值．（其中|A_i|表示集合A_i所含元素的個(gè)數(shù)）
  組卷：51引用：1難度：0.1

  解析