2022-2023學年湖南省長沙市瀏陽市高二（上）期末數(shù)學試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．

• 1．圓x²+y²+2x-4y-6=0的圓心和半徑分別是（　　）

  A．（-1，-2），11

  B．（-1，2），11

  C．（-1，-2）， 11

  D．（-1，2）， 11
  組卷：729引用：14難度：0.9

  解析

• 2．如果AB＞0且BC＜0，那么直線Ax+By+C=0不經(jīng)過（　　）

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  組卷：409引用：9難度：0.8

  解析

• 3．正四面體ABCD的棱長為a,點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，則

  AE

  ?

  AF

  的值為（　?。?/h2>

  A．a(chǎn)2

  B． 1 2 a 2

  C． 1 4 a 2

  D． 3 4 a 2
  組卷：261引用：14難度：0.7

  解析

• 4．已知直線

  l

  ：

  3

  x

  +

  y

  -

  2

  =

  0

  ，則（　?。?/h2>

  A．直線l的傾斜角為 5 π 6

  B．直線l的斜率為 3

  C．直線l的一個法向量為 u = （ 1 ， 3 ）

  D．直線l的一個方向向量為 v = （ - 3 ， 3 ）
  組卷：83引用：8難度：0.7

  解析

• 5．如圖，某建筑物白色的波浪形屋頂像翅膀一樣漂浮，建筑師通過雙曲線的設計元素賦予了這座建筑以輕盈，極簡和雕塑般的氣質，該建筑物外形弧線的一段可以近似看成焦點在y軸上的雙曲線

  y

  2

  a

  2

  -

  x

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  上支的一部分．已知該雙曲線的上焦點F到下頂點的距離為18，F(xiàn)到漸近線的距離為6，則該雙曲線的離心率為（　?。?/h2>

  A． 5 3

  B． 5 4

  C． 4 3

  D． 4 5
  組卷：226引用：4難度：0.5

  解析

• 6．若直線y=kx+1?與圓x²+y²=1?相交于A，B?兩點，且∠AOB=60°?（其中O?為原點），則k?的值為（　?。?/h2>

  A． - 3 3 ?或 3 3 ?

  B． 3 3 ?

  C． - 2 ?或 2 ?

  D． 2 ?
  組卷：45引用：4難度：0.7

  解析

• 7．已知拋物線C：y²=8x的焦點為F，點M（-2，2），過點F且斜率為k的直線與C交于A，B兩點，若MA⊥MB，則k=（　?。?/h2>

  A． 2

  B． 2 2

  C． 1 2

  D．2
  組卷：82引用：1難度：0.5

  解析

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

• 21．某團隊開發(fā)一款“貓捉老鼠”的游戲，如圖所示，A、B兩個信號源相距10米，O是AB的中點，過O點的直線l與直線AB的夾角為45°，機器貓在直線l上運動，機器鼠的運動軌跡始終滿足：接收到A點的信號比接收到B點的信號晚

  8

  v

  0

  秒，其中v₀（單位：米/秒）是信號傳播的速度．
  （1）以O為原點，以OB方向為x軸正方向，且以米為單位，建立平面直角坐標系，設機器鼠所在位置為點P，求點P的軌跡方程；
  （2）若游戲設定：機器鼠在距離直線l不超過1.5米的區(qū)域運動時，有“被抓”的風險．如果機器鼠保持目前的運動軌跡不變，是否有“被抓”風險？
  組卷：16引用：3難度：0.5

  解析

• 22．已知橢圓

  Ω

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的離心率為

  3

  2

  ，橢圓Ω截直線x=1所得線段的長度為

  3

  ．過

  M

  （

  3

  ，

  0

  ）

  作互相垂直的兩條直線l₁、l₂，直線l₁與橢圓Ω交于A、B兩點，直線l₂與橢圓Ω交于C、D兩點，AB、CD的中點分別為E、F．
  （1）求橢圓Ω的方程；
  （2）證明：直線EF恒過定點，并求出定點坐標；
  （3）求四邊形ABCD面積S的最小值．
  組卷：75引用：4難度：0.4

  解析