2023-2024學(xué)年上海市黃浦區(qū)大同中學(xué)高三（上）開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、填空題（本大題共12小題，滿(mǎn)分54分，前6小題每題4分，后6小題每題5分）

• 1．不等式|x-2|＜3的解集是

  ．
  組卷：62引用：4難度：0.8

  解析

• 2．若

  a

  =（-3，3），

  b

  =（1，2），則

  a

  ?

  b

  =

  ．
  組卷：20引用：1難度：0.9

  解析

• 3．若數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，則S₇=

  ．
  組卷：70引用：1難度：0.8

  解析

• 4．已知tanα=3，則cos2α=

  ．
  組卷：224引用：4難度：0.7

  解析

• 5．已知函數(shù)f（x）=

  2 - x ， x ＞ 0

  1 ， x ≤ 0

  ，則f（x）的值域?yàn)?

  ．
  組卷：82引用：2難度：0.8

  解析

• 6．已知復(fù)數(shù)z=2+i,則|1-iz|=

  ．
  組卷：12引用：1難度：0.8

  解析

• 7．已知圓x²+y²-4x-m=0的面積為π，則m=

  ．
  組卷：1191引用：6難度：0.7

  解析

三、解答題（本大題滿(mǎn)分78分）

• 20．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F恰為橢圓

  y

  2

  a

  2

  +x²=1（a＞1）的一個(gè)頂點(diǎn)，且拋物線通徑（過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F且與其對(duì)稱(chēng)軸垂直的弦）的長(zhǎng)等于橢圓的兩準(zhǔn)線間的距離．
  （1）求拋物線及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
  （2）過(guò)點(diǎn)F作兩條直線l₁，l₂，且l₁，l₂的斜率之積為-1．
  ①設(shè)直線l₁交拋物線于A，B兩點(diǎn)，l₂交拋物線于C，D兩點(diǎn)，求

  1

  |

  AB

  |

  +

  1

  |

  CD

  |

  的值；
  ②設(shè)直線l₁，l₂與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，求△FMN面積的最大值．
  組卷：56引用：1難度：0.4

  解析

• 21．已知函數(shù)f（x）=

  lnx

  x

  和g（x）=

  x

  e

  x

  ，它們的圖像分別為曲線C₁和C₂．
  （1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
  （2）證明：曲線C₁和C₂有唯一交點(diǎn)；
  （3）設(shè)直線y=a與兩條曲線C₁、C₂共有三個(gè)不同交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為x₁，x₂，x₃，求證：x₁，x₂，x₃成等比數(shù)列．
  組卷：56引用：3難度：0.3

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