【問題情境】數(shù)學(xué)課上，王老師出示了這樣一個(gè)問題：如圖1，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BE=AB，連接DE，交BC于點(diǎn)M，以DE為一邊在DE的左下方作正方形DEFG，連接AM．試判斷線段AM與DE的位置關(guān)系．
【探究展示】小明發(fā)現(xiàn)，AM垂直平分DE，并展示了如下的證明方法：
證明：∵BE=AB，∴AE=2AB．
∵AD=2AB，∴AD=AE．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴EMDM=EBABEMDM=EBAB.（平行線分線段成比例）
∵BE=AB，
∴EMDM=1．
∴EM=DM．
即AM是△ADE的DE邊上的中線，
又∵AD=AE，
∴AM⊥DEAM⊥DE.（等腰三角形的“三線合一”）
∴AM垂直平分DE．
【反思交流】
（1）請(qǐng)將上述證明過程補(bǔ)充完整；
（2）小穎受到小明的啟發(fā)，繼續(xù)進(jìn)行探究，如圖2，連接CE，以CE為一邊在CE的左下方作正方形CEFG，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)G在線段BC的垂直平分線上，請(qǐng)你給出證明；
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖3，連接CE，以CE為一邊在CE的右上方作正方形CEFG，分別以點(diǎn)B，C為圓心，m為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M，連接MF．若MF=AB=1，請(qǐng)直接寫出m的值．
EM
DM
=
EB
AB
EM
DM
=
EB
AB
EM
DM
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】；AM⊥DE
EM
DM
=
EB
AB
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2025/5/25 17:30:1組卷：266引用：2難度：0.3
相似題
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1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的邊OC與x軸重合，OA與y軸重合，BC=2，D是OC上一點(diǎn)，且OD，DC的長(zhǎng)是一元二次方程x2-5x+4=0的兩個(gè)根（OD＞DC）．
（1）求線段OD，OC，AD的長(zhǎng)；
（2）在線段AB上有一動(dòng)點(diǎn)P（不與A、B重合），點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB方向勻速運(yùn)動(dòng)，到終點(diǎn)B停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，過P點(diǎn)作PE∥BD交AD于E，PF∥AD交BD于F，求四邊形DEPF的面積S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，x軸上是否存在點(diǎn)Q，使以A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
發(fā)布：2025/5/25 22:30:2組卷：107引用：1難度：0.3 -
2．折紙是同學(xué)們喜歡的手工活動(dòng)之一，通過折紙我們既可以得到許多美麗的圖形．同時(shí)紙的過程還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)．
折紙1：如圖1，將正方形ABCD沿BE對(duì)折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'，連接A'C，若∠DEA'=50°，則∠BA'C=．
折紙2：請(qǐng)用一個(gè)正方形紙片折出一個(gè)30°的角（不借助任何工具），在給出的正方形圖形（圖2）中畫出你的折疊方法，并說(shuō)明理由．
折紙3：如圖3，操作一；將邊長(zhǎng)為4的正方形片ABCD對(duì)折，使點(diǎn)B、C分別與點(diǎn)A，D重合，再展開得到折痕EF；操作：將正方形ABCD沿著AF折疊，使得點(diǎn)D落在點(diǎn)D'處；操作三：正方形紙片沿著FD'折疊再展開，折痕FD'與邊BC于點(diǎn)P，求線段BP的長(zhǎng)度．
綜合應(yīng)用：如圖4，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)P為BC上的一點(diǎn)（不與B點(diǎn)重合，可以與C點(diǎn)重合），將△ABP沿著AP折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B'，B'落在矩形的內(nèi)部，連結(jié)B'A，B'D，當(dāng)△B'AD為等腰三角形時(shí)，求△B'AD的面積．
發(fā)布：2025/5/25 22:30:2組卷：342引用：1難度：0.2 -
3．綜合與實(shí)踐：
發(fā)現(xiàn)問題：
如圖①，已知：△OAB中，OB=3，將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△OA′B，連接BB′．
則BB′=．
問題探究：
如圖②，已知△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，以BC為邊向外作等邊△BCD，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q．3
（1）求證：△DCQ≌△BCP
（2）求PA+PB+PC的最小值．
實(shí)際應(yīng)用：
如圖③，某貨運(yùn)場(chǎng)為一個(gè)矩形場(chǎng)地ABCD，其中AB=500米，AD=800米，頂點(diǎn)A、D為兩個(gè)出口，現(xiàn)在想在貨運(yùn)廣場(chǎng)內(nèi)建一個(gè)貨物堆放平臺(tái)P，在BC邊上（含B、C兩點(diǎn)）開一個(gè)貨物入口M，并修建三條專用車道PA、PD、PM．若修建每米專用車道的費(fèi)用為10000元，當(dāng)M，P建在何處時(shí)，修建專用車道的費(fèi)用最少？最少費(fèi)用為多少？
發(fā)布：2025/5/25 22:30:2組卷：514引用：2難度：0.1
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