【問(wèn)題背景】△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，點(diǎn)D為直線(xiàn)BC上一點(diǎn)．
【初步探究】（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上時(shí)，連接AD，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AD于點(diǎn)A，且AD=AE，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AC于H點(diǎn)，交AB于F點(diǎn)．求證：EF=AC．
請(qǐng)將證明過(guò)程補(bǔ)充完整：
證明：∵AE⊥AD，
∴∠EAD=90°
即∠EAH+∠CAD=90°
∵EH⊥AC，
∴∠AHE=90°，
∴∠EAH+∠AEH=90°（ 直角三角形的兩銳角互余直角三角形的兩銳角互余），
∴∠AEH=∠CAD∠CAD（ 同角的余角相等同角的余角相等）．
∵△ABC為等腰直角三角形，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠ACB=45°．
在Rt△AHF中，
∠AFE=180°-∠AHF-∠HAF=180°-90°-45°=45°，
∴∠AFE=∠DCA=45°．
在△AEF與△DAC中，
∠AEF=∠DAC ∠AFE=∠DCA （??）
∴△AEF≌△DAC，
∴EF=AC（ 全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．
【推廣探究】（2）如圖2，若點(diǎn)D為邊BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，其他條件不變，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【拓展應(yīng)用】（3）若AC=6，AH=2，其它條件不變時(shí)，EH=4或84或8．
∠ AEF =∠ DAC |
∠ AFE =∠ DCA |
（ ?? ） |
【考點(diǎn)】三角形綜合題．
【答案】直角三角形的兩銳角互余；∠CAD；同角的余角相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；4或8
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/12 8:0:8組卷：967引用：1難度：0.5
相似題
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1．已知直角△ABC，∠BAC=90°，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DE⊥DF，連接EF．
（1）如圖1，求證：∠BED=∠AFD；
（2）如圖1，求證：BE2+CF2=EF2；
（3）如圖2，當(dāng)∠ABC=45°，若BE=4，CF=3，求△DEF的面積．發(fā)布：2024/12/23 14:0:1組卷：183引用：3難度：0.2 -
2．已知A（0，4），B（-4，0），D（9，4），C（12，0），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線(xiàn)段AD上，以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)：動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在線(xiàn)段BC上，以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．
（1）當(dāng)t=秒時(shí)，PQ平分線(xiàn)段BD；
（2）當(dāng)t=秒時(shí)，PQ⊥x軸；
（3）當(dāng)時(shí)，求t的值．∠PQC=12∠D發(fā)布：2024/12/23 15:0:1組卷：143引用：3難度：0.1 -
3．一副三角板如圖1擺放，∠C=∠DFE=90°，∠B=30°，∠E=45°，點(diǎn)F在BC上，點(diǎn)A在DF上，且AF平分∠CAB，現(xiàn)將三角板DFE繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（當(dāng)點(diǎn)D落在射線(xiàn)FB上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)）．
（1）當(dāng)∠AFD=°時(shí)，DF∥AC；當(dāng)∠AFD=°時(shí)，DF⊥AB；
（2）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，DF與AB的交點(diǎn)記為P，如圖2，若△AFP有兩個(gè)內(nèi)角相等，求∠APD的度數(shù)；
（3）當(dāng)邊DE與邊AB、BC分別交于點(diǎn)M、N時(shí)，如圖3，若∠AFM=2∠BMN，比較∠FMN與∠FNM的大小，并說(shuō)明理由．
發(fā)布：2024/12/23 18:30:1組卷：1692引用：10難度：0.1