2023-2024學年上海市楊浦區(qū)控江中學高三（上）期中數學試卷

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）考生應在答題紙的相應位置直接填寫結果.

• 1．不等式

  x

  -

  2

  x

  +

  1

  ＜0解集為

  ．
  組卷：304難度：0.5

  解析
• 2．函數y=lg（x²-5x+4）的定義域為

  ．
  組卷：59難度：0.8

  解析
• 3．復數

  2

  +

  4

  i

  1

  +

  i

  的虛部是

  ．
  組卷：233引用：4難度：0.9

  解析
• 4．已知a為實數．若關于x的方程x²-4x+a=0有一個根為2+i（其中i為虛數單位），則a的值為

  ．
  組卷：32引用：2難度：0.8

  解析
• 5．已知a為實數，若數據1，2，a,6的平均數為3，則這組數據的標準差為

  ．
  組卷：42引用：2難度：0.7

  解析
• 6．若tan（α+β）=3，

  tan

  （

  α

  +

  π

  4

  ）

  =

  -

  3

  ，則

  tan

  （

  β

  -

  π

  4

  ）

  的值為

  ．
  組卷：134引用：2難度：0.5

  解析
• 7．已知a為實數．若y=f（x）是定義在R上的偶函數，且它在區(qū)間[0，+∞）上是嚴格增函數，則使得f（a）≥f（3）成立的a的取值范圍是

  ．
  組卷：39難度：0.6

  解析

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟.

• 20．已知k為實數，

  f

  （

  x

  ）

  =

  2

  si

  n

  2

  （

  π

  4

  +

  x

  ）

  -

  k

  ?

  cos

  2

  x

  ．
  （1）若k=0，求關于x的方程f（x）=1在[0，π]上的解；
  （2）若

  k

  =

  3

  ，求函數y=f（x），x∈R的單調減區(qū)間；
  （3）已知a為實數且

  k

  =

  3

  ，若關于x的不等式|f（x）-a|＜2在

  x

  ∈

  [

  π

  4

  ，

  π

  2

  ]

  時恒成立，求a的取值范圍．
  組卷：36引用：3難度：0.5

  解析
• 21．已知實數a＞0，設

  f

  （

  x

  ）

  =

  -

  2

  3

  a

  x

  3

  +

  x

  2

  ．
  （1）若a=3，求函數y=f（x），x∈R的圖象在點（1，-1）處的切線方程；
  （2）若

  a

  =

  1

  3

  ，求函數y=f（x），x∈（2，+∞）的值域；
  （3）若對于任意的x₁∈（2，+∞），總存在x₂∈（1，+∞），使得f（x₁）?f（x₂）=1，求a的取值范圍．
  組卷：84引用：2難度：0.3

  解析