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2023-2024學(xué)年北京171中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

發(fā)布：2024/10/19 5:0:1

一、選擇題（每小題4分，共40分）

1．圓x²+y²-2x+4y+3=0的圓心坐標(biāo)為（　?。?/h2>
A．（-2，4） B．（2，-4） C．（1，-2） D．（-1，2）
組卷：147引用：11難度：0.9
解析
2．若直線l₁：x-y+1=0與l₂：x+ay-1=0垂直，則實數(shù)a=（　　）
A．1 B．2 C．3 D．-1
組卷：59引用：2難度：0.9
解析
3．若橢圓
x
2
25
+
y
2
=
1
上一點(diǎn)P到橢圓一個焦點(diǎn)的距離為6，則P到另一個焦點(diǎn)的距離為（　?。?/h2>
A．3 B．4 C．5 D．6
組卷：75引用：8難度：0.7
解析
4．已知空間向量
m
=（3，1，3），
n
=（-1，λ，-1），且
m
∥
n
，則實數(shù)λ=（　　）
A．-
1
3
B．-3 C．
1
3
D．6
組卷：1165引用：11難度：0.8
解析
5．已知直線ax+y-2+a=0在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實數(shù)a=（　?。?/h2>
A．1 B．-1 C．-2或1 D．2或1
組卷：990引用：27難度：0.7
解析
6．直線y=x-b與曲線
x
=
4
-
y
2
有且僅有一個公共點(diǎn)，則實數(shù)b的取值范圍為（　?。?/h2>
A．
{
-
2
2
，
2
2
}
B．
（
-
2
，
2
]
∪
{
2
2
}
C．
[
-
2
，
2
2
）
∪
{
2
2
}
D．
[
-
2
，
2
）
∪
{
2
2
}
組卷：290引用：6難度：0.5
解析
7．已知四面體A-BCD的所有棱長都等于2，E是棱AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱CD靠近C的四等分點(diǎn)，則
EF
?
AC
等于（　　）
A．
-
1
2
B．
1
2
C．
-
5
2
D．
5
2
組卷：236引用：8難度：0.7
解析

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三、解答題（本大題共6小題，滿分85分）

20．已知橢圓
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，其中右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），該橢圓的離心率為
1
2
．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點(diǎn)P（1，t）為橢圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)F₂的直線l與橢圓交于異于點(diǎn)P的A，B兩點(diǎn)，若△PAB的面積是
9
2
7
，求直線l的方程．
組卷：104引用：1難度：0.5
解析
21．“曼哈頓幾何”也叫“出租車幾何”，是在19世紀(jì)由赫爾曼?閔可夫斯基提出來的．如圖是抽象的城市路網(wǎng)，其中線段|AB|是歐式空間中定義的兩點(diǎn)最短距離，但在城市路網(wǎng)中，我們只能走有路的地方，不能“穿墻”而過，所以在“曼哈頓幾何”中，這兩點(diǎn)最短距離用d（A，B）表示，又稱“曼哈頓距離”，即d（A，B）=|AC|+|CB|，因此“曼哈頓兩點(diǎn)間距離公式”：若A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則d（A，B）=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|．
（1）①點(diǎn)A（3，5），B（2，-1），求d（A，B）的值．
②求圓心在原點(diǎn)，半徑為1的“曼哈頓單位圓”方程．
（2）已知點(diǎn)B（1，0），直線2x-y+2=0，求B點(diǎn)到直線的“曼哈頓距離”最小值；
（3）設(shè)三維空間4個點(diǎn)為A_i=（x_i，y_i，z_i），i=1，2，3，4，且x_i，y_i，z_i∈{0，1}．設(shè)其中所有兩點(diǎn)“曼哈頓距離”的平均值即
d
，求
d
最大值，并列舉最值成立時的一組坐標(biāo)．
組卷：243引用：4難度：0.3
解析