2023年遼寧省沈陽(yáng)二中高考數(shù)學(xué)五模試卷

一．單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

• 1．設(shè)集合A={x∈N^*|

  x

  ≤2}，集合B={y|y=x²+2}，則A∩B=（　?。?/h2>

  A．[1，4]

  B．[2，4]

  C．{1，2，3，4}

  D．{2，3，4}
  組卷：94引用：4難度：0.7

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• 2．已知復(fù)數(shù)

  z

  =

  i

  1

  +

  i

  （其中i為虛數(shù)單位），則z的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（　?。?/h2>

  A． 1 2 i

  B． - 1 2 i

  C． 1 2

  D． - 1 2
  組卷：205引用：4難度：0.8

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• 3．某校高三年級(jí)一共有1200名同學(xué)參加數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，已知所有學(xué)生成績(jī)的第80百分位數(shù)是103分，則數(shù)學(xué)成績(jī)不小于103分的人數(shù)至少為（　?。?/h2>

  A．220

  B．240

  C．250

  D．300
  組卷：252引用：6難度：0.7

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• 4．蚊香具有悠久的歷史，我國(guó)蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習(xí)俗有關(guān)．如圖為某校數(shù)學(xué)社團(tuán)用數(shù)學(xué)軟件制作的“蚊香”．畫(huà)法如下：在水平直線(xiàn)上取長(zhǎng)度為1的線(xiàn)段AB，作一個(gè)等邊三角形ABC，然后以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑逆時(shí)針畫(huà)圓弧交線(xiàn)段CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D（第一段圓?。僖渣c(diǎn)C為圓心，CD為半徑逆時(shí)針畫(huà)圓弧交線(xiàn)段AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，再以點(diǎn)A為圓心，AE為半徑逆時(shí)針畫(huà)圓弧……以此類(lèi)推，當(dāng)?shù)玫降摹拔孟恪鼻『糜?1段圓弧時(shí)，“蚊香”的長(zhǎng)度為（　?。?/h2>

  A．14π

  B．18π

  C．30π

  D．44π
  組卷：283引用：9難度：0.7

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• 5．設(shè)

  a

  ，

  b

  是兩個(gè)單位向量，若

  a

  +

  b

  在

  b

  上的投影向量為

  2

  3

  b

  ，則

  cos

  ?

  a

  ，

  b

  ?

  =（　?。?/h2>

  A． - 1 3

  B． 1 3

  C． - 2 2 3

  D． 2 2 3
  組卷：379引用：5難度：0.8

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• 6．魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽（圖a）為研究球體的體積公式，創(chuàng)造了一個(gè)獨(dú)特的立體圖形“牟合方蓋”，它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一圓柱的側(cè)面上．如圖，將兩個(gè)底面半徑為1的圓柱分別從縱橫兩個(gè)方向嵌入棱長(zhǎng)為2的正方體時(shí)（如圖b），兩圓柱公共部分形成的幾何體（如圖c）即得一個(gè)“牟合方蓋”，圖d是該“牟合方蓋”的直觀圖（圖中標(biāo)出的各點(diǎn)A，B，C，D，P，Q均在原正方體的表面上）．
  ?
  由“牟合方蓋”產(chǎn)生的過(guò)程可知，圖d中的曲線(xiàn)PBQD為一個(gè)橢圓，則此橢圓的離心率為（　　）

  A． 2 2

  B． 1 2

  C． 2 4

  D． 1 4
  組卷：82引用：4難度：0.6

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• 7．已知函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  3

  sin

  （

  2

  x

  -

  π

  3

  ）

  -

  2

  co

  s

  2

  （

  x

  -

  π

  6

  ）

  +

  1

  ，將函數(shù)f（x）的圖象向左平移

  π

  6

  個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g（x）的圖象，若x₁，x₂是關(guān)于x的方程g（x）=a在

  [

  0

  ，

  π

  2

  ]

  內(nèi)的兩根，則sin（2x₁+2x₂）=（　　）

  A． 3 5

  B． - 3 5

  C． 10 10

  D． - 10 10
  組卷：141引用：2難度：0.6

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四、解答題：本大題共6小題，滿(mǎn)分70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

• 21．如圖：小明同學(xué)先把一根直尺固定在畫(huà)板上面，把一塊三角板的一條直角邊緊靠在直尺邊沿，再取一根細(xì)繩，它的長(zhǎng)度與另一直角邊相等，讓細(xì)繩的一端固定在三角板的頂點(diǎn)A處，另一端固定在畫(huà)板上點(diǎn)F處，用鉛筆尖扣緊繩子（使兩段細(xì)繩繃直），靠住三角板，然后將三角板沿著直尺上下滑動(dòng)，這時(shí)筆尖在平面上畫(huà)出了圓錐曲線(xiàn)C的一部分圖象．已知細(xì)繩長(zhǎng)度為3，經(jīng)測(cè)量，當(dāng)筆尖運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P處，此時(shí)，∠FAP=30°，∠AFP=90°．設(shè)直尺邊沿所在直線(xiàn)為a,以過(guò)F垂直于直尺的直線(xiàn)為x軸，以過(guò)F垂直于a的垂線(xiàn)段的中垂線(xiàn)為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．
  （1）求曲線(xiàn)C的方程；
  （2）斜率為k的直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)D（0，-3），且與曲線(xiàn)C交于不同的兩點(diǎn)M，N，已知k的取值范圍為（0，2），探究：是否存在λ，使得

  DM

  =

  λ

  DN

  ，若存在，求出λ的范圍，若不存在，說(shuō)明理由．
  組卷：129引用：9難度：0.5

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• 22．已知曲線(xiàn)f（x）=e^x在點(diǎn)

  （

  x

  0

  ，

  e

  x

  0

  ）

  處的切線(xiàn)為l,設(shè)

  f

  i

  （

  x

  ）

  =

  e

  （

  i

  n

  ）

  x

  ，i=1，2，…，n-1，n∈N^*且n≥2．
  （1）設(shè)x₀是方程

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  +

  1

  x

  -

  1

  的一個(gè)實(shí)根，證明：l為曲線(xiàn)f（x）=e^x和y=lnx的公切線(xiàn)；
  （2）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，對(duì)任意的n∈N^*且n≥2，

  f

  1

  （

  x

  ）

  f

  2

  （

  x

  ）

  ?

  f

  n

  -

  1

  （

  x

  ）

  ≥

  1

  e

  m

  恒成立，求m的最小值．
  組卷：43引用：1難度：0.4

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