2022-2023學年上海市五校高二（下）聯(lián)考數(shù)學試卷（3月份）

一.填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分53分）

• 1．直線x+

  3

  y+1=0的傾斜角的大小為

  ．
  組卷：882引用：20難度：0.9

  解析

• 2．已知集合A={1，2，3}，B={1，m}，若3-m∈A，則非零實數(shù)m的數(shù)值是

   

  ．
  組卷：1092引用：5難度：0.9

  解析

• 3．關于x、y的方程x²+y²+2x-4y+m=0表示圓，則實數(shù)m的取值范圍是

  ．
  組卷：266引用：4難度：0.9

  解析

• 4．已知平面α的一個法向量為

  n

  1

  =

  （

  1

  ，

  2

  ，-

  3

  ）

  ，平面β的一個法向量為

  n

  2

  =

  （

  -

  2

  ，-

  4

  ，

  k

  ）

  ，若α∥β，則k的值為

  ．
  組卷：130引用：5難度：0.8

  解析

• 5．已知{a_n}是等差數(shù)列，a₁=1，公差d≠0，S_n為其前n項和，若a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，則S₈=

  ．
  組卷：1586引用：38難度：0.7

  解析

• 6．已知雙曲線Γ：

  x

  2

  m

  -

  y

  2

  m

  +

  9

  =

  1

  （

  m

  ＞

  0

  ）

  的虛軸長是實軸長的2倍，則Γ的焦距為

  ．
  組卷：73引用：1難度：0.7

  解析

• 7．如圖所示，正方體ABCD-A'B'C'D'中，E、F分別為平面A'B'C'D'與AA'D'D的中心，則EF與CD所成角的大小為

  ．
  組卷：101引用：2難度：0.7

  解析

三.解答題（本大題共有5題，滿分0分）

• 20．2021年6月17日，神舟十二號載人飛船順利升空并于6.5小時后與天和核心艙成功對接，這是中國航天史上的又一里程碑．我校南蒼穹同學既是航天迷，又熱愛數(shù)學，于是他為正在參加期末檢測的你們編就了這道題目．如圖1，是神舟十二號飛船推進艙及其推進器的簡化示意圖，半徑相等的圓I₁，I₂，I₃，I₄與圓柱OO₁底面相切于A，B，C，D四點，且圓I₁與I₂，I₂與I₃，I₃與I₄，I₄與I₁分別外切，線段A₁A為圓柱OO₁的母線．點M為線段A₁O₁中點，點N在線段CO₁上，且CN=2NO₁.已知圓柱OO₁底面半徑為2，AA₁=4．
  （Ⅰ）求證：AM∥平面BDN；
  （Ⅱ）線段AA₁上是否存在一點E，使得OE⊥平面BDN？若存在，請求出AE的長，若不存在，請說明理由；
  （Ⅲ）求二面角I₂-A₁I₁-I₄的余弦值；
  （Ⅳ）如圖2，是飛船推進艙與即將對接的天和核心艙的相對位置的簡化示意圖．天和核心艙為底面半徑為2的圓柱O₂O₃，它與飛船推進艙共軸，即O，O₁，O₂，O₃共線．核心艙體兩側伸展出太陽翼，其中三角形RST為以RS為斜邊的等腰直角三角形，四邊形PQRS為矩形．已知推進艙與核心艙的距離為4，即Q₁O₂=4，且O₂O₃=RS=2，PS=7．在對接過程中，核心艙相對于推進艙可能會相對作出逆時針旋轉的運動，請你求出在艙體相對距離保持不變的情況下，在艙體相對旋轉過程中，直線A₁P與平面PQRS所成角的正弦值的最大值
  
  組卷：30引用：2難度：0.4

  解析

• 21．如圖，A，B是橢圓

  C

  ：

  x

  2

  2

  +

  y

  2

  =

  1

  長軸的兩個端點，M，N是橢圓上與A，B均不重合的相異兩點，設直線AM，BN，AN的斜率分別是k₁，k₂，k₃．
  （1）求k₂?k₃的值；
  （2）若直線MN過點

  （

  2

  2

  ，

  0

  ）

  ，求證：

  k

  1

  ?

  k

  3

  =

  -

  1

  6

  ；
  （3）設直線MN與x軸的交點為（t,0）（t為常數(shù)且t≠0），試探究直線AM與直線BN的交點Q是否落在某條定直線上？若是，請求出該定直線的方程；若不是，請說明理由．
  組卷：656引用：5難度：0.1

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