2021年6月17日，神舟十二號載人飛船順利升空并于6.5小時(shí)后與天和核心艙成功對接，這是中國航天史上的又一里程碑．我校南蒼穹同學(xué)既是航天迷，又熱愛數(shù)學(xué)，于是他為正在參加期末檢測的你們編就了這道題目．如圖1，是神舟十二號飛船推進(jìn)艙及其推進(jìn)器的簡化示意圖，半徑相等的圓I₁，I₂，I₃，I₄與圓柱OO₁底面相切于A，B，C，D四點(diǎn)，且圓I₁與I₂，I₂與I₃，I₃與I₄，I₄與I₁分別外切，線段A₁A為圓柱OO₁的母線．點(diǎn)M為線段A₁O₁中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段CO₁上，且CN=2NO₁.已知圓柱OO₁底面半徑為2，AA₁=4．
（Ⅰ）求證：AM∥平面BDN；
（Ⅱ）線段AA₁上是否存在一點(diǎn)E，使得OE⊥平面BDN？若存在，請求出AE的長，若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）求二面角I₂-A₁I₁-I₄的余弦值；
（Ⅳ）如圖2，是飛船推進(jìn)艙與即將對接的天和核心艙的相對位置的簡化示意圖．天和核心艙為底面半徑為2的圓柱O₂O₃，它與飛船推進(jìn)艙共軸，即O，O₁，O₂，O₃共線．核心艙體兩側(cè)伸展出太陽翼，其中三角形RST為以RS為斜邊的等腰直角三角形，四邊形PQRS為矩形．已知推進(jìn)艙與核心艙的距離為4，即Q₁O₂=4，且O₂O₃=RS=2，PS=7．在對接過程中，核心艙相對于推進(jìn)艙可能會相對作出逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動，請你求出在艙體相對距離保持不變的情況下，在艙體相對旋轉(zhuǎn)過程中，直線A₁P與平面PQRS所成角的正弦值的最大值