人教五四新版九年級（上）中考題單元試卷：第28章 二次函數(shù)（17）

一、填空題（共1小題）

• 1．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段AB的兩個端點(diǎn)A（0，2），B（1，0）分別在y軸和x軸的正半軸上，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將線段BA繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)D．
  （1）如圖1，若該拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O，且a=-

  1

  3

  ．
      ①求點(diǎn)D的坐標(biāo)及該拋物線的解析式；
      ②連接CD，問：在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠POB與∠BCD互余？若存在，請求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；
  （2）如圖2，若該拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)E（1，1），點(diǎn)Q在拋物線上，且滿足∠QOB與∠BCD互余．若符合條件的Q點(diǎn)的個數(shù)是4個，請直接寫出a的取值范圍．
  
  組卷：2470引用：54難度：0.3

  解析

二、解答題（共29小題）

• 2．已知拋物線y=

  1

  2

  x²+c與x軸交于A（-1，0），B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．
  
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）點(diǎn)E（m,n）是第二象限內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥x軸交拋物線于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥y軸于點(diǎn)G，連接CE、CF，若∠CEF=∠CFG．求n的值并直接寫出m的取值范圍（利用圖1完成你的探究）．
  （3）如圖2，點(diǎn)P是線段OB上一動點(diǎn)（不包括點(diǎn)O、B），PM⊥x軸交拋物線于點(diǎn)M，∠OBQ=∠OMP，BQ交直線PM于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,求△PBQ的周長．
  組卷：3755引用：55難度：0.5

  解析

• 3．已知關(guān)于x的一元二次方程x²+2x+

  k

  -

  1

  2

  =0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，k為正整數(shù)．
  （1）求k的值；
  （2）當(dāng)此方程有一根為零時，直線y=x+2與關(guān)于x的二次函數(shù)y=x²+2x+

  k

  -

  1

  2

  的圖象交于A、B兩點(diǎn)，若M是線段AB上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥x軸，交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)N，求線段MN的最大值及此時點(diǎn)M的坐標(biāo)；
  （3）將（2）中的二次函數(shù)圖象x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，圖象的其余部分保持不變，翻折后的圖象與原圖象x軸上方的部分組成一個“W”形狀的新圖象，若直線y=

  1

  2

  x+b與該新圖象恰好有三個公共點(diǎn)，求b的值．
  組卷：2281引用：56難度：0.5

  解析

• 4．如圖，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，頂點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是M′．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）若直線AM′與此拋物線的另一個交點(diǎn)為C，求△CAB的面積；
  （3）是否存在過A，B兩點(diǎn)的拋物線，其頂點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為Q，使得四邊形APBQ為正方形？若存在，求出此拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．
  組卷：3053引用：56難度：0.5

  解析

• 5．如圖，已知拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對稱軸與拋物線交于點(diǎn)P、與直線BC相交于點(diǎn)M，連接PB．
  （1）求該拋物線的解析式；
  （2）在（1）中位于第一象限內(nèi)的拋物線上是否存在點(diǎn)D，使得△BCD的面積最大？若存在，求出D點(diǎn)坐標(biāo)及△BCD面積的最大值；若不存在，請說明理由．
  （3）在（1）中的拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得△QMB與△PMB的面積相等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
  組卷：7694引用：58難度：0.5

  解析

• 6．如圖，拋物線y=x²-4x與x軸交于O，A兩點(diǎn)，P為拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線y=x+m與對稱軸交于點(diǎn)Q．
  （1）這條拋物線的對稱軸是

  ，直線PQ與x軸所夾銳角的度數(shù)是

  ；
  （2）若兩個三角形面積滿足S_△POQ=

  1

  3

  S_△PAQ，求m的值；
  （3）當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方的拋物線上時，過點(diǎn)C（2，2）的直線AC與直線PQ交于點(diǎn)D，求：①PD+DQ的最大值；②PD?DQ的最大值．
  組卷：3334引用：53難度：0.5

  解析

• 7．如圖，已知二次函數(shù)的圖象M經(jīng)過A（-1，0），B（4，0），C（2，-6）三點(diǎn)．
  （1）求該二次函數(shù)的解析式；
  （2）點(diǎn)G是線段AC上的動點(diǎn)（點(diǎn)G與線段AC的端點(diǎn)不重合），若△ABG與△ABC相似，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；
  （3）設(shè)圖象M的對稱軸為l,點(diǎn)D（m,n）（-1＜m＜2）是圖象M上一動點(diǎn)，當(dāng)△ACD的面積為

  27

  8

  時，點(diǎn)D關(guān)于l的對稱點(diǎn)為E，能否在圖象M和l上分別找到點(diǎn)P、Q，使得以點(diǎn)D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．
  組卷：3162引用：51難度：0.5

  解析

• 8．如圖，拋物線y=ax²+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于B，C兩點(diǎn)（點(diǎn)C在x軸正半軸上），△ABC為等腰直角三角形，且面積為4，現(xiàn)將拋物線沿BA方向平移，平移后的拋物線過點(diǎn)C時，與x軸的另一點(diǎn)為E，其頂點(diǎn)為F，對稱軸與x軸的交點(diǎn)為H．
  （1）求a、c的值．
  （2）連接OF，試判斷△OEF是否為等腰三角形，并說明理由．
  （3）現(xiàn)將一足夠大的三角板的直角頂點(diǎn)Q放在射線AF或射線HF上，一直角邊始終過點(diǎn)E，另一直角邊與y軸相交于點(diǎn)P，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使以點(diǎn)P、Q、E為頂點(diǎn)的三角形與△POE全等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
  
  組卷：3173引用：57難度：0.5

  解析

• 9．如圖，已知一條直線過點(diǎn)（0，4），且與拋物線y=

  1

  4

  x²交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是-2．
  （1）求這條直線的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)B的坐標(biāo)．
  （2）在x軸上是否存在點(diǎn)C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
  （3）過線段AB上一點(diǎn)P，作PM∥x軸，交拋物線于點(diǎn)M，點(diǎn)M在第一象限，點(diǎn)N（0，1），當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為何值時，MN+3MP的長度最大？最大值是多少？
  組卷：7710引用：75難度：0.5

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• 10．已知拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（m-2，0）和B（2m+1，0）（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P，對稱軸為l：x=1．
  （1）求拋物線解析式．
  （2）直線y=kx+2（k≠0）與拋物線相交于兩點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（x₁＜x₂），當(dāng)|x₁-x₂|最小時，求拋物線與直線的交點(diǎn)M與N的坐標(biāo)．
  （3）首尾順次連接點(diǎn)O、B、P、C構(gòu)成多邊形的周長為L，若線段OB在x軸上移動，求L最小值時點(diǎn)O，B移動后的坐標(biāo)及L的最小值．
  組卷：1515引用：50難度：0.5

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二、解答題（共29小題）

• 29．如圖，拋物線y=-x²+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，直線AD與y軸交于點(diǎn)E．
  
  （1）求直線AD的解析式；
  （2）如圖1，直線AD上方的拋物線上有一點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G，作FH平行于x軸交直線AD于點(diǎn)H，求△FGH周長的最大值；
  （3）點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以A，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以AM為邊的矩形．若點(diǎn)T和點(diǎn)Q關(guān)于AM所在直線對稱，求點(diǎn)T的坐標(biāo)．
  組卷：4992引用：52難度：0.5

  解析

• 30．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-2，0），B（4，0），C（0，3）三點(diǎn)．
  （1）求該拋物線的解析式；
  （2）在y軸上是否存在點(diǎn)M，使△ACM為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有滿足要求的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
  （3）若點(diǎn)P（t,0）為線段AB上一動點(diǎn)（不與A，B重合），過P作y軸的平行線，記該直線右側(cè)與△ABC圍成的圖形面積為S，試確定S與t的函數(shù)關(guān)系式．
  組卷：2575引用：52難度：0.5

  解析