2022-2023學(xué)年湖南省衡陽市祁東二中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

• 1．已知m,n為實(shí)數(shù)，1-i（i為虛數(shù)單位）是關(guān)于x的方程x²-mx+n=0的一個根，則m+n=（　?。?/h2>

  A．0

  B．1

  C．2

  D．4
  組卷：124引用：6難度：0.8

  解析

• 2．如圖所示，四邊形OABC是上底為1，下底為3，底角為45°的等腰梯形，由斜二測畫法，畫出這個梯形的直觀圖O′A′B′C′，在直觀圖中的梯形的高為（　?。?/h2>

  A． 2 4

  B． 2 3

  C． 2 2

  D． 2
  組卷：116引用：4難度：0.9

  解析

• 3．已知在正四面體A-BCD中，M為AB的中點(diǎn)，則直線CM與AD所成角的余弦值為（　　）

  A． 1 2

  B． 2 3

  C． 3 6

  D． 2 3
  組卷：564引用：14難度：0.7

  解析

• 4．在△ABC中，

  AC

  ?

  （

  BA

  +

  BC

  ）

  =

  |

  AC

  |

  2

  ，則△ABC的形狀一定是（　　）

  A．直角三角形	B．等腰三角形
  C．等邊三角形	D．等腰直角三角形
  組卷：85引用：3難度：0.7

  解析

• 5．《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．若三棱錐P-ABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱錐P-ABC的四個頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為（　?。?/h2>

  A．8π

  B．12π

  C．20π

  D．24π
  組卷：1429引用：15難度：0.7

  解析

• 6．已知向量

  a

  =

  （

  1

  ，

  2

  x

  ）

  ，

  b

  =

  （

  0

  ，

  2

  ）

  ，則

  a

  ?

  b

  a

  2

  的最大值為（　?。?/h2>

  A． 2 2

  B．2

  C． 2

  D．1
  組卷：12引用：1難度：0.7

  解析

• 7．已知菱形ABCD的邊長為2，菱形的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，

  BA

  ?

  BO

  =

  1

  ，點(diǎn)E是線段BD上靠近D的三等分點(diǎn)，則

  AE

  在

  AB

  上的投影向量的模長為（　?。?/h2>

  A． 8 3

  B． 4 3

  C．1

  D．2
  組卷：52引用：2難度：0.5

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四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

• 21．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別為CD，PB的中點(diǎn)．
  （1）求證：EF∥平面PAD．
  （2）在線段PC上是否存在一點(diǎn)Q使得A，E，Q，F(xiàn)四點(diǎn)共面？若存在，求出

  PQ

  QC

  的值；若不存在，請說明理由．
  組卷：1423引用：4難度：0.5

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• 22．后疫情時代，很多地方嘗試開放夜市地攤經(jīng)濟(jì)，多個城市也放寬了對擺攤的限制．某商場經(jīng)營者也順應(yīng)潮流準(zhǔn)備在商場門前擺地攤．已知該商場門前是一塊扇形區(qū)域，擬對這塊扇形空地AOB進(jìn)行改造．如圖所示，平行四邊形OMPN區(qū)域為顧客的休息區(qū)域，陰影區(qū)域為“擺地攤”區(qū)域，點(diǎn)P在弧AB上，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在線段OA和線段OB上，且OA=90cm,

  ∠

  AOB

  =

  π

  3

  ．記∠POB=θ．
  （1）請寫出顧客的休息區(qū)域OMPN的面積S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)θ為何值時，S取得最大值；
  （2）記

  OP

  =

  x

  OA

  +

  y

  OB

  ，若t=x+μy（μ＞0）存在最大值，求μ的取值范圍．
  組卷：82引用：6難度：0.2

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