2023-2024學(xué)年北京市順義區(qū)牛欄山一中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分，四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)符合題目）

• 1．若直線x+y-3=0與2x+ay-1=0垂直，則a=（　?。?/div>

  A．-2

  B．2

  C． 1 2

  D． - 1 2
  組卷：64引用：4難度：0.8

  解析
• 2．橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是（-4，0）和（4，0），橢圓上的點(diǎn)M到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于10，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（　　）

  A． x 2 5 + y 2 4 = 1

  B． x 2 5 + y 2 3 = 1

  C． x 2 25 + y 2 9 = 1

  D． x 2 16 + y 2 9 = 1
  組卷：306引用：1難度：0.8

  解析
• 3．若方程x²+y²+4x+2y-m=0表示一個(gè)圓，則m的取值范圍是（　　）

  A．（-∞，-5）

  B．（-5，+∞）

  C．（-∞，5）

  D．（5，+∞）
  組卷：274引用：5難度：0.8

  解析
• 4．若雙曲線C：

  x

  2

  9

  -

  y

  2

  m

  =

  1

  的焦距長(zhǎng)為8，則該雙曲線的漸近線方程為（　?。?/div>

  A． y =± 7 4 x

  B． y =± 5 4 x

  C． y =± 4 3 x

  D． y =± 7 3 x
  組卷：735引用：4難度：0.7

  解析
• 5．已知拋物線y²=2px（p＞0）上橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離為6，則p=（　?。?/div>

  A．2

  B．3

  C．6

  D．8
  組卷：238引用：1難度：0.8

  解析
• 6．已知平面α的法向量為

  n

  =

  （

  2

  ，

  1

  ，

  1

  ）

  ，若平面α外的直線l的方向向量為

  a

  =

  （

  -

  1

  ，

  0

  ，

  3

  ）

  ，則可以推斷（　?。?/div>

  A．l∥α

  B．l⊥α

  C．l與α斜交

  D．l?α
  組卷：57引用：1難度：0.7

  解析
• 7．已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a,b），圓M與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C、D兩點(diǎn)，則“|AB|=|CD|”是“a=b”的（　　）

  A．充分不必要條件	B．必要不充分條件
  C．既不充分也不必要條件	D．充分必要條件
  組卷：22引用：2難度：0.8

  解析

三、解答題（本大題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明過(guò)程或演算步驟.

• 20．已知橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為

  2

  2

  ，離心率為

  2

  2

  ，過(guò)右焦點(diǎn)且與x軸不垂直的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，1），記直線MA，MB的斜率分別為k₁，k₂．
  （Ⅰ）求橢圓C的方程；
  （Ⅱ）當(dāng)

  |

  AB

  |

  =

  5

  2

  4

  時(shí)，求直線l的方程；
  （Ⅲ）求證：k₁+k₂為定值．
  組卷：216引用：4難度：0.5

  解析
• 21．對(duì)于空間向量

  m

  =

  （

  a

  ,

  b

  ,

  c

  ）

  ，定義

  |

  |

  m

  |

  |

  =

  max

  {

  |

  a

  |

  ，

  |

  b

  |

  ，

  |

  c

  |

  }

  ，其中max{x,y,z}表示x,y,z這三個(gè)數(shù)的最大值．
  （Ⅰ）已知

  a

  =

  （

  3

  ，-

  4

  ，

  2

  ）

  ，

  b

  =

  （

  x

  ,-

  x

  ,

  2

  x

  ）

  ．
  ①直接寫出

  |

  |

  a

  |

  |

  和

  |

  |

  b

  |

  |

  （用含x的式子表示）；
  ②當(dāng)0≤x≤4，寫出

  |

  |

  a

  -

  b

  |

  |

  的最小值及此時(shí)x的值；
  （Ⅱ）設(shè)

  a

  =

  （

  x

  1

  ，

  y

  1

  ，

  z

  1

  ）

  ，

  b

  =

  （

  x

  2

  ，

  y

  2

  ，

  z

  2

  ）

  ，求證：

  |

  |

  a

  +

  b

  |

  |

  ≤

  |

  |

  a

  |

  |

  +

  |

  |

  b

  |

  |

  ；
  （Ⅲ）在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，2），點(diǎn)Q是△ABC內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，直接寫出

  |

  |

  OQ

  |

  |

  的最小值（無(wú)需解答過(guò)程）．
  組卷：83引用：1難度：0.3

  解析