20.閱讀材料:我們研究了函數(shù)的單調性、奇偶性和周期性,但是這些還不能夠準確地描述出函數(shù)的圖象,例如函數(shù)y=x
2和
,雖然它們都是增函數(shù),圖象在[0,1]上都是上升的,但是卻有著顯著的不同.如圖1所示,函數(shù)y=x
2的圖象是向下凸的,在[0,1]上任意取兩個點M
1,M
2,函數(shù)y=x
2的圖象總是在線段M
1M
2的下方,此時函數(shù)y=x
2稱為下凸函數(shù);函數(shù)
的圖象是向上凸的,在[0,1]上任意取兩個點M
1,M
2,函數(shù)
的圖象總是在線段M
1M
2的上方,則函數(shù)
稱為上凸函數(shù).具有這樣特征的函數(shù)通常稱做凸函數(shù).
定義1:設函數(shù)y=f(x)是定義在區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù),若?x
1,x
2∈I,都有
,則稱y=f(x)為區(qū)間I上的下凸函數(shù).如圖2.下凸函數(shù)的形狀特征:曲線上任意兩點M
1,M
2之間的部分位于線段M
1M
2的下方.定義2:設函數(shù)y=f(x)是定義在區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù),若?x
1,x
2∈I,都有
,則稱y=f(x)為區(qū)間I上的上凸函數(shù).如圖3.上凸函數(shù)的形狀特征:曲線上任意兩點M
1,M
2之間的部分位于線段M
1M
2的上方.上凸(下凸)函數(shù)與函數(shù)的定義域密切相關的.例如,函數(shù)y=x
3在(-∞,0]為上凸函數(shù),在[0,+∞)上為下凸函數(shù).函數(shù)的奇偶性和周期性分別反映的是函數(shù)圖象的對稱性和循環(huán)往復,屬于整體性質;而函數(shù)的單調性和凸性分別刻畫的是函數(shù)圖象的升降和彎曲方向,屬于局部性質.關于函數(shù)性質的探索,對我們的啟示是:在認識事物和研究問題時,只有從多角度、全方位加以考查,才能使認識和研究更加準確.結合閱讀材料回答下面的問題:
(1)請嘗試列舉一個下凸函數(shù):
;
(2)求證:二次函數(shù)f(x)=-x
2+bx+c是上凸函數(shù);
(3)已知函數(shù)f(x)=x|x-a|,若對任意x
1,x
2∈[2,3],恒有
,嘗試數(shù)形結合探究實數(shù)a的取值范圍.