2023年湖南省長沙實(shí)驗(yàn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)二模試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

• 1．已知集合A={x∈Z|-1≤x≤3}，B={x|x²-3x＜0}，則A∩B=（　?。?/h2>

  A．{1，2}

  B．{x|0＜x＜3}

  C．{1，2，3}

  D．{2，3}
  組卷：148引用：7難度：0.8

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• 2．已知a∈R，i為虛數(shù)單位，若

  a

  -

  i

  3

  +

  i

  為實(shí)數(shù)，則a=（　?。?/h2>

  A．-3

  B． 1 3

  C．3

  D． - 1 3
  組卷：257引用：13難度：0.9

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• 3．我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測(cè)雨”題，在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為36寸，盆底直徑為12寸，盆深18寸．若某次下雨盆中積水的深度恰好是盆深的一半，則平均降雨量是（注：平均降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積）（　　）

  A． 5 3 寸

  B．2寸

  C． 7 3 寸

  D．3寸
  組卷：168引用：6難度：0.7

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• 4．已知單位向量

  a

  ，

  b

  的夾角為60°，則向量

  a

  +

  b

  在

  a

  方向上的投影向量為（　?。?/h2>

  A． 1 2 a

  B． - 1 2 b

  C． 3 2 a

  D． - 1 2 a
  組卷：198引用：3難度：0.8

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• 5．正割（Secant）及余割（Cosecant）這兩個(gè)概念是由伊朗數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家阿布爾?威發(fā)首先引入，sec,csc這兩個(gè)符號(hào)是荷蘭數(shù)學(xué)家基拉德在《三角學(xué)》中首先使用，后經(jīng)歐拉采用得以通行．在三角中，定義正割

  secα

  =

  1

  cosα

  ，余割

  cscα

  =

  1

  sinα

  ．則函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  1

  secx

  +

  1

  cscx

  的值域?yàn)椋ā　。?/h2>

  A．[-1，1]	B． [ - 2 ， 2 ]
  C．[-2，2]	D． [ - 2 ，- 1 ） ∪ （ - 1 ， 1 ） ∪ （ 1 ， 2 ]
  組卷：112引用：2難度：0.6

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• 6．南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”，“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…，則第十層有（　?。﹤€(gè)球．

  A．12

  B．20

  C．55

  D．110
  組卷：30引用：3難度：0.7

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• 7．已知△ABC是單位圓O的內(nèi)接三角形，若

  A

  =

  π

  4

  ，則

  BA

  ?

  BC

  的最大值為（　　）

  A． 2 + 1

  B． 2 2

  C．2

  D． 1 - 2
  組卷：148引用：2難度：0.5

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四、解答題：本題共6小題，共70分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

• 21．已知雙曲線x²-y²=1的左、右頂點(diǎn)分別為A₁，A₂，動(dòng)直線l：y=kx+m與圓x²+y²=1相切，且與雙曲線左、右兩支的交點(diǎn)分別為P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．
  （1）求k的取值范圍；
  （2）記直線P₁A₁的斜率為k₁，直線P₂A₂的斜率為k₂，那么k₁k₂是定值嗎？證明你的結(jié)論．
  組卷：152引用：2難度：0.2

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• 22．已知函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  1

  2

  x

  2

  +

  alnx

  -

  2

  x

  ．
  （1）討論f（x）的單調(diào)性；
  （2）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，且x₁＜x₂．f（x₁）+f（x₂）＜-3e^-2-2恒成立．
  ①求a的取值范圍；
  ②證明：

  f

  （

  x

  ）

  ＜

  1

  2

  x

  2

  +

  （

  a

  -

  1

  ）

  lnx

  -

  （

  a

  +

  2

  ）

  x

  +

  x

  e

  x

  -

  1

  ．
  組卷：168引用：3難度：0.5

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