人教五四新版九年級（上）中考題單元試卷：第28章 二次函數(shù)（18）

一、填空題（共1小題）

• 1．如圖，已知直線y=-

  3

  4

  x+3分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，P是拋物線y=-

  1

  2

  x²+2x+5上的一個動點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為a,過點(diǎn)P且平行于y軸的直線交直線y=-

  3

  4

  x+3于點(diǎn)Q，則當(dāng)PQ=BQ時，a的值是

  ．
  組卷：3681引用：72難度：0.5

  解析

二、解答題（共29小題）

• 2．已知：拋物線y=x²+（2m-1）x+m²-1經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減?。?br />（1）求拋物線的解析式，并寫出y＜0時，對應(yīng)x的取值范圍；
  （2）設(shè)點(diǎn)A是該拋物線上位于x軸下方的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)D，再作AB⊥x軸于點(diǎn)B，DC⊥x軸于點(diǎn)C．
  ①當(dāng)BC=1時，直接寫出矩形ABCD的周長；
  ②設(shè)動點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a,b），將矩形ABCD的周長L表示為a的函數(shù)并寫出自變量的取值范圍，判斷周長是否存在最大值？如果存在，求出這個最大值，并求出此時點(diǎn)A的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．
  組卷：1615引用：53難度：0.5

  解析

• 3．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-

  9

  2

  ），且與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0）．P點(diǎn)是拋物線上的一個動點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為m.
  （1）求拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式；
  （2）若動點(diǎn)P滿足∠PAO不大于45°，求P點(diǎn)的橫坐標(biāo)m的取值范圍；
  （3）當(dāng)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)m＜0時，過P點(diǎn)作y軸的垂線PQ，垂足為Q．問：是否存在P點(diǎn)，使∠QPO=∠BCO？若存在，請求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
  組卷：2174引用：51難度：0.5

  解析

• 4．如圖，已知拋物線y=-

  1

  2

  x²+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A（0，8）、B（8，0）和點(diǎn)E，動點(diǎn)C從原點(diǎn)O開始沿OA方向以每秒1個單位長度移動，動點(diǎn)D從點(diǎn)B開始沿BO方向以每秒1個單位長度移動，動點(diǎn)C、D同時出發(fā)，當(dāng)動點(diǎn)D到達(dá)原點(diǎn)O時，點(diǎn)C、D停止運(yùn)動．
  （1）直接寫出拋物線的解析式：

  ；
  （2）求△CED的面積S與D點(diǎn)運(yùn)動時間t的函數(shù)解析式；當(dāng)t為何值時，△CED的面積最大？最大面積是多少？
  （3）當(dāng)△CED的面積最大時，在拋物線上是否存在點(diǎn)P（點(diǎn)E除外），使△PCD的面積等于△CED的最大面積？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
  組卷：4255引用：61難度：0.5

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• 5．一次函數(shù)y=

  3

  4

  x的圖象如圖所示，它與二次函數(shù)y=ax²-4ax+c的圖象交于A、B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與這個二次函數(shù)圖象的對稱軸交于點(diǎn)C．
  （1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
  （2）設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為D．
  ①若點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱，且△ACD的面積等于3，求此二次函數(shù)的關(guān)系式；
  ②若CD=AC，且△ACD的面積等于10，求此二次函數(shù)的關(guān)系式．
  組卷：3428引用：55難度：0.5

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• 6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（10，0），以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半圓，B為半圓上一點(diǎn)，連接AB并延長至C，使BC=AB，過C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，交線段OB于點(diǎn)E，已知CD=8，拋物線經(jīng)過O、E、A三點(diǎn)．
  （1）∠OBA=

  °．
  （2）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
  （3）若P為拋物線上位于第一象限內(nèi)的一個動點(diǎn)，以P、O、A、E為頂點(diǎn)的四邊形面積記作S，則S取何值時，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有3個？
  組卷：2312引用：52難度：0.5

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• 7．如圖①，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與二次函數(shù)y=x²的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為m,n（m＜0，n＞0）．
  （1）當(dāng)m=-1，n=4時，k=

  ，b=

  ；
  當(dāng)m=-2，n=3時，k=

  ，b=

  ；
  （2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，用含m,n的代數(shù)式分別表示k與b,并證明你的結(jié)論；
  （3）利用（2）中的結(jié)論，解答下列問題：
  如圖②，直線AB與x軸，y軸分別交于點(diǎn)C，D，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)E，連接AO，OE，ED．
  ①當(dāng)m=-3，n＞3時，求

  S

  △

  ACO

  S

  四邊形

  AOED

  的值（用含n的代數(shù)式表示）；
  ②當(dāng)四邊形AOED為菱形時，m與n滿足的關(guān)系式為

  ；
  當(dāng)四邊形AOED為正方形時，m=

  ，n=

  ．
  
  組卷：1884引用：50難度：0.5

  解析

• 8．拋物線y=

  1

  4

  x²-

  3

  2

  x+2與x軸交于A，B兩點(diǎn)（OA＜OB），與y軸交于點(diǎn)C．
  （1）求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；
  （2）點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，同時點(diǎn)E也從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒（0＜t＜2）．
  ①過點(diǎn)E作x軸的平行線，與BC相交于點(diǎn)D（如圖所示），當(dāng)t為何值時，

  1

  OP

  +

  1

  ED

  的值最小，求出這個最小值并寫出此時點(diǎn)E，P的坐標(biāo)；
  ②在滿足①的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)F，使△EFP為直角三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
  組卷：2332引用：53難度：0.5

  解析

• 9．在平面直角坐標(biāo)系中，已知y=-

  1

  2

  x²+bx+c（b、c為常數(shù)）的頂點(diǎn)為P，等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-1），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，3），直角頂點(diǎn)B在第四象限．
  （1）如圖，若拋物線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，求拋物線的解析式．
  （2）平移（1）中的拋物線，使頂點(diǎn)P在直線AC上并沿AC方向滑動距離為

  2

  時，試證明：平移后的拋物線與直線AC交于x軸上的同一點(diǎn)．
  （3）在（2）的情況下，若沿AC方向任意滑動時，設(shè)拋物線與直線AC的另一交點(diǎn)為Q，取BC的中點(diǎn)N，試探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，請說明理由．
  
  組卷：1984引用：51難度：0.5

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• 10．如圖，一小球從斜坡O點(diǎn)處拋出，球的拋出路線可以用二次函數(shù)y=-x²+4x刻畫，斜坡可以用一次函數(shù)y=

  1

  2

  x刻畫．
  （1）請用配方法求二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)P的坐標(biāo)；
  （2）小球的落點(diǎn)是A，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
  （3）連接拋物線的最高點(diǎn)P與點(diǎn)O、A得△POA，求△POA的面積；
  （4）在OA上方的拋物線上存在一點(diǎn)M（M與P不重合），△MOA的面積等于△POA的面積．請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
  組卷：3279引用：64難度：0.5

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二、解答題（共29小題）

• 29．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a（x-1）²+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)P在這條拋物線上，且不與B、C兩點(diǎn)重合．過點(diǎn)P作y軸的垂線與射線BC交于點(diǎn)Q，以PQ為邊作Rt△PQF，使∠PQF=90°，點(diǎn)F在點(diǎn)Q的下方，且QF=1．設(shè)線段PQ的長度為d,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.
  （1）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．
  （2）求d與m之間的函數(shù)關(guān)系式．
  （3）當(dāng)Rt△PQF的邊PF被y軸平分時，求d的值．
  （4）以O(shè)B為邊作等腰直角三角形OBD，當(dāng)0＜m＜3時，直接寫出點(diǎn)F落在△OBD的邊上時m的值．
  組卷：2190引用：50難度：0.5

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• 30．如圖，折疊矩形OABC的一邊BC，使點(diǎn)C落在OA邊的點(diǎn)D處，已知折痕BE=5

  5

  ，且

  OD

  OE

  =

  4

  3

  ，以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，拋物線l：y=-

  1

  16

  x²+

  1

  2

  x+c經(jīng)過點(diǎn)E，且與AB邊相交于點(diǎn)F．
  （1）求證：△ABD∽△ODE；
  （2）若M是BE的中點(diǎn)，連接MF，求證：MF⊥BD；
  （3）P是線段BC上一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線l上，且始終滿足PD⊥DQ，在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，請說明理由．
  組卷：1923引用：51難度：0.5

  解析