2023-2024學年北京市中國人民大學附中高二（上）期中數(shù)學試卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案填涂在答題紙上的相應位置.）

• 1．已知平面α∥平面β，直線a?α，直線b?β，則a與b的位置關系是（　　）

  A．平行

  B．平行或異面

  C．異面

  D．異面或相交
  組卷：122引用：2難度：0.4

  解析
• 2．空間中點A的坐標是（3，-1，0），若向量

  AB

  =

  （

  2

  ，

  5

  ，-

  3

  ）

  ，則點B的坐標是（　　）

  A．（1，-6，3）

  B．（-1，6，-3）

  C．（5，4，-3）

  D．（2，5，-3）
  組卷：122引用：1難度：0.5

  解析
• 3．一個水平放置的平面圖形△OAB用斜二測畫法作出的直觀圖是如圖所示的等腰直角△O′A′B′，其中A′B′=

  10

  ，則平面圖形△OAB的面積為（　　）

  A． 5 2

  B． 10 2

  C． 10 5

  D． 5 5
  組卷：423引用：5難度：0.8

  解析
• 4．已知cos＜

  a

  ，

  b

  ＞=-

  1

  3

  ，則下列說法錯誤的是（　?。?/div>

  A．若 a ， b 分別是直線l1，l2的方向向量，則l1，l2所成角余弦值是 1 3

  B．若 a ， b 分別是直線l的方向向量與平面α的法向量，則l與α所成角正弦值是 1 3

  C．若 a ， b 分別是平面ABC，平面BCD的法向量，則二面角A-BC-D的余弦值是 1 3

  D．若分別是直線l的方向向量與平面α的法向量，則l與α所成角余弦值是 2 2 3
  組卷：99引用：1難度：0.6

  解析
• 5．一個三棱錐的各棱長均相等，其內部有一個內切球，即球與三棱錐的各面均相切（球在三棱錐的內部，且球與三棱錐的各面只有一個交點），過一條側棱和對邊的中點作三棱錐的截面，所得截面圖形是（　?。?/div>

  A．

  B．

  C．

  D．
  組卷：289引用：8難度：0.7

  解析
• 6．如圖，平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是矩形，其中AB=2，AD=4，AA₁=3，且∠A₁AD=∠A₁AB=60°，則線段AC₁的長為（　?。?/div>

  A．9

  B． 29

  C． 47

  D． 4 3
  組卷：173引用：7難度：0.5

  解析
• 7．如圖，已知大小為60°的二面角α-l-β棱上有兩點A，B，AC?α，AC⊥l,BD?β，BD⊥l,若AC=3，BD=3，CD=7，則AB的長為（　?。?/div>

  A．22

  B．40

  C． 2 10

  D． 22
  組卷：193引用：8難度：0.5

  解析
• 8．魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結構，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱，六根完全一樣的正四棱柱體分成三組，經(jīng)90°榫卯起來．若正四棱柱的高為6，底面正方形的邊長為1，現(xiàn)將該魯班鎖放進一個球形容器（容器壁的厚度忽略不計），則該球形容器表面積的最小值為（　　）

  A．44π

  B．43π

  C．42π

  D．41π
  組卷：320引用：10難度：0.7

  解析

五、填空題（共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在答題紙上的相應位置.）

• 25．點O是正四面體A₁A₂A₃A₄的外接球球心，|OA_i|=1（i=1，2，3，4）．若

  OP

  =

  λ

  1

  O

  A

  1

  +

  λ

  2

  O

  A

  2

  +

  λ

  O

  A

  3

  +

  λ

  O

  A

  4

  ，其中0≤λ₁≤1（i=1，2，3，4），則動點P掃過的區(qū)域的體積為

  ．
  組卷：21引用：1難度：0.5

  解析

六、解答題（本小題15分，解答應寫出文字說明過程或演算步驟，請將答案寫在答題紙上的相應位置.）

• 26．已知自然數(shù)集A={1，2，3，?，n}（n∈N^*），非空集合

  E

  =

  {

  e

  1

  ，

  e

  2

  ，

  ?

  ，

  e

  m

  }

  ?

  A

  （

  m

  ∈

  N

  *

  ）

  ．若集合E滿足：對任意a∈A，存在e_i，e_j∈E（1≤i≤j≤m），使得a=xe_i+ye_j，x,y∈{-1，0，1}，稱集合E為集合A的一組m元基底．
  （1）分別判斷下列集合E是否為集合A的一組二元基底，并說明理由：
  ①E={1，2}，A={1，2，3，4，5}；
  ②E={2，3}，A={1，2，3，4，5，6}．
  （2）若集合E是集合A的一組m元基底，證明：n≤m（m+1）；
  （3）若集合E為集合A={1，2，3，?，19}的一組m元基底，求m的最小值．
  組卷：46引用：2難度：0.5

  解析