2022-2023學(xué)年江蘇省無(wú)錫市四校聯(lián)考高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)，每題5分，共40分）

• 1．已知復(fù)數(shù)

  z

  =

  2

  +

  i

  1

  -

  i

  ，則z?

  z

  =（　?。?/h2>

  A．1

  B． 3 2

  C．2

  D． 5 2
  組卷：60引用：2難度：0.8

  解析

• 2．一個(gè)水平放置的平面圖形，用斜二測(cè)畫法畫出了它的直觀圖，如圖所示，此直觀圖恰好是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，則原平面圖形的面積為（　?。?/h2>

  A． 2

  B． 4 2

  C．8

  D． 8 2
  組卷：410引用：5難度：0.8

  解析

• 3．一質(zhì)點(diǎn)在力

  F

  1

  =（-3，5），

  F

  2

  =（2，-3）的共同作用下，由點(diǎn)A（10，-5）移動(dòng)到B（4，0），則

  F

  1

  ，

  F

  2

  的合力

  F

  對(duì)該質(zhì)點(diǎn)所做的功為（　?。?/h2>

  A．16

  B．-24

  C．110

  D．-110
  組卷：186引用：3難度：0.8

  解析

• 4．在△ABC中，a²+b²+c²=2bccosA+2accosB，則△ABC一定是（　?。?/h2>

  A．銳角三角形

  B．鈍角三角形

  C．直角三角形

  D．等邊三角形
  組卷：179引用：3難度：0.8

  解析

• 5．中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中，稱一個(gè)正方體內(nèi)兩個(gè)互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的立體為“牟合方蓋”，如圖（1）（2），劉徽未能求得牟合方蓋的體積，直言“欲陋形措意，懼失正理”，不得不說(shuō)“敢不闕疑，以俟能言者”．約200年后，祖沖之的兒子祖暅提出“冪勢(shì)既同，則積不容異”，后世稱為祖暅原理，即：兩等高立體，若在每一等高處的截面積都相等，則兩立體體積相等．如圖（3）（4），祖暅利用八分之一正方體去掉八分之一牟合方蓋后的幾何體與長(zhǎng)寬高皆為八分之一正方體的棱長(zhǎng)的倒四棱錐“等冪等積”，計(jì)算出牟合方蓋的體積，據(jù)此可知，牟合方蓋的體積與其外切正方體的體積之比為（　?。?br />

  A． 1 3

  B． 2 3

  C． 8 3

  D． 16 3
  組卷：150引用：4難度：0.7

  解析

• 6．已知

  α

  ∈

  （

  0

  ，

  π

  2

  ）

  ，

  sin

  2

  α

  =

  cos

  （

  π

  4

  -

  α

  ）

  ，則cos2α的值為（　?。?/h2>

  A．0

  B． 1 2

  C． 3 2

  D．- 3 2
  組卷：276引用：5難度：0.6

  解析

• 7．設(shè)A₁、A₂、A₃、A₄為平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的點(diǎn)，若

  A

  1

  A

  3

  =

  λ

  A

  1

  A

  2

  （

  λ

  ∈

  R

  ）

  ，

  A

  1

  A

  4

  =

  μ

  A

  1

  A

  2

  （

  μ

  ∈

  R

  ）

  ，且

  1

  λ

  +

  1

  μ

  =

  4

  ，則稱點(diǎn)A₃、A₄和諧分割點(diǎn)A₁、A₂.已知平面上兩兩不同的點(diǎn)A、B、C、D，若C、D和諧分割點(diǎn)A、B．則下面說(shuō)法正確的是（　?。?/h2>

  A．點(diǎn)C可能是線段AB的中點(diǎn)

  B．點(diǎn)C可能是靠近點(diǎn)A的線段AB的三等分點(diǎn)

  C．點(diǎn)C、D可能同時(shí)在線段AB上

  D．點(diǎn)C、D可能同時(shí)在線段AB的延長(zhǎng)線上
  組卷：110引用：3難度：0.5

  解析

四、解答題（本大題共6小題，作答各題時(shí)須有必要的計(jì)算和推理過(guò)程，共70分）

• 21．如圖所示，在△ABC中，P在線段BC上，滿足2

  BP

  =

  PC

  ，O是線段AP的中點(diǎn)，
  
  （1）延長(zhǎng)CO交AB于點(diǎn)Q（圖1），求

  AQ

  QB

  的值；
  （2）過(guò)點(diǎn)O的直線與邊AB，AC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)（圖2），設(shè)

  EB

  =

  λ

  AE

  ，

  FC

  =

  μ

  AF

  ．
  （ⅰ）求證：2λ+μ為定值；
  （ⅱ）設(shè)△AEF的面積為S₁，△ABC的面積為S₂，求

  S

  1

  S

  2

  的最小值．
  組卷：432引用：4難度：0.2

  解析

• 22．如圖，某公園改建一個(gè)三角形池塘，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米，現(xiàn)準(zhǔn)備養(yǎng)一批觀賞魚供游客觀賞．
  
  （1）若在△ABC內(nèi)部取一點(diǎn)P，建造連廊供游客觀賞，方案一如圖①，使得點(diǎn)P是等腰三角形PBC的頂點(diǎn)，且

  ∠

  CPB

  =

  2

  π

  3

  ，求連廊AP+PC+PB的長(zhǎng)（單位為百米）；
  （2）若分別在AB，BC，CA上取點(diǎn)D，E，F(xiàn)，并建造連廊，使得△DEF變成池中池，放養(yǎng)更名貴的魚類供游客觀賞：方案二如圖②，使得△DEF為正三角形，設(shè)S₂為圖②中△DEF的面積，求S₂的最小值；方案三如圖③，使得DE平行于AB，且EF垂直于DE，設(shè)S₃為圖③中△DEF的面積，求S₃的取值范圍．
  組卷：130引用：4難度：0.7

  解析