探究、猜想、證明題：
觀察下列數(shù)據(jù)：
1×2×3×4+1=25=52=（12+3×1+1）2
2×3×4×5+1=121=112=（22+3×2+1）2
3×4×5×6+1=361=192=（32+3×3+1）2
4×5×6×7+1=841=292=（42+3×4+1）2
…
猜想：（1）5×6×7×8+1=1681=412=（552+1515+11） 2
n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n2+3n+1）2（n2+3n+1）2
證明：（2）四個連續(xù)自然數(shù)的乘積加上1是一個完全平方數(shù)．
【答案】5；15；1；（n2+3n+1）2
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2025/5/27 22:30:1組卷：168引用：2難度：0.1
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1．如果對于不＜8的自然數(shù)n,當3n+1是一個完全平方數(shù)時，n+1能表示成k個完全平方數(shù)的和，那么k的最小值為（ ?。?/h2>
發(fā)布：2025/6/17 23:0:1組卷：550引用：18難度：0.5 -
2．在2001、2002、…、2010這10個數(shù)中，不能表示成兩個平方數(shù)差的數(shù)有
個．發(fā)布：2025/6/19 1:30:1組卷：77引用：2難度：0.7 -
3．對于任意一個三位正整數(shù)，百位上的數(shù)字加上個位上的數(shù)字之和恰好等于十位上的數(shù)字，則稱這個三位數(shù)為“牛轉(zhuǎn)乾坤數(shù)”．例如：對于三位數(shù)451，4+1=5，則451是“牛轉(zhuǎn)乾坤數(shù)”；對于三位數(shù)110，1+0=1，則110是“牛轉(zhuǎn)乾坤數(shù)”．
（1）求證：任意一個“牛轉(zhuǎn)乾坤數(shù)”一定能被11整除；
（2）在一個“牛轉(zhuǎn)乾坤數(shù)”的十位與百位之間添加1得到一個新的四位數(shù)M，若M的各位數(shù)字之和為完全平方數(shù)，求所有滿足條件的“牛轉(zhuǎn)乾坤數(shù)”．發(fā)布：2025/6/2 11:30:1組卷：747引用：2難度：0.3
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