綜合與實踐
老師讓同學們以“兩個大小不等的等腰直角三角板的直角頂點重合，并讓一個三角板固定，另一個繞直角頂點旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學活動．如圖1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠C=90°，點D，E分別在邊BC，AC上，連接AD，點M，P，N分別為DE，AD，AB的中點．試判斷線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．
甲小組發(fā)現(xiàn)：PM=PN，PM⊥PN．并進行了證明，下面的兩個片段是截取的部分證明過程（片段前后證明過程已省略）：
【片段1】∵點P，M分別是AD，DE的中點，
∴PM∥AE，PM=12AE．（理由1）
【片段2】∵∠BCA=90°，∴∠ADC+∠CAD=90°．（理由2）
反思交流
（1）①填空：理由1：三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半；理由2：直角三角形的兩銳角互余直角三角形的兩銳角互余；
②圖1中，MN與AB的位置關(guān)系是 MN⊥AB或MN垂直平分ABMN⊥AB或MN垂直平分AB．
（2）乙小組受到甲小組的啟發(fā)，繼續(xù)進行探究，把△CDE繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，請判斷△PMN的形狀并證明；
（3）丙小組的同學繼續(xù)探究：把△CDE繞點C在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，當CD=4，CB=10時，直接寫出線段MN長度的最大值．
PM
∥
AE
，
PM
=
1
2
AE
【考點】幾何變換綜合題．
【答案】三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半；直角三角形的兩銳角互余；MN⊥AB或MN垂直平分AB
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/4/26 11:36:51組卷：255引用：3難度：0.1
相似題
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1．將線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AC，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜120°）得到線段AD，連接CD．
（1）連接BD，
①如圖1，若α=80°，則∠BDC的度數(shù)為 ；
②在第二次旋轉(zhuǎn)過程中，請?zhí)骄俊螧DC的大小是否改變．若不變，求出∠BDC的度數(shù)；若改變，請說明理由．
（2）如圖2，以AB為斜邊作直角三角形ABE，使得∠B=∠ACD，連接CE，DE．若∠CED=90°，求α的值．發(fā)布：2025/6/23 16:0:1組卷：633引用：8難度：0.1 -
2．如圖，△ABC為邊長是4
的等邊三角形，四邊形DEFG是邊長是6的正方形．現(xiàn)將等邊△ABC和正方形DEFG按如圖①的方式擺放，使點C與點E重合，點B、C、E、F在同一條直線上，△ABC從圖①的位置出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿EF方向向右勻速運動，當點B與點E重合時停止運動，設(shè)△ABC的運動時間為t秒．3
（1）當點A與點D重合時，求此時t的值；
（2）在整個運動過程中，設(shè)等邊△ABC和正方形DEFG重疊部分的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如圖②，當點A與點D重合時，作∠ABE的角平分線BM交AE于點M，將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使邊AB與邊AC重合，得到△ACN．在線段AG上是否存在H點，使得△ANH為等腰三角形？若存在，求線段AH的長度；若不存在，請說明理由．
發(fā)布：2025/6/24 11:30:1組卷：111引用：1難度：0.3 -
3．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，點P從點A出發(fā)，沿折線AB-BC以每秒5個單位長度的速度向點C運動，同時點D從點C出發(fā)，沿CA以每秒2個單位長度的速度向點A運動，點P到達點C時，點P、D同時停止運動，當點P不與點A、C重合時，作點P關(guān)于直線AC的對稱點Q，連結(jié)PQ交AC于點E，連結(jié)DP、DQ，設(shè)點P的運動時間為t秒．
（1）當點D與點E重合時，求t的值．
（2）用含t的代數(shù)式表示線段CE的長．
（3）當△PDQ為直角三角形時，求△PDQ與△ABC重疊部分的面積．發(fā)布：2025/6/25 5:0:1組卷：45引用：1難度：0.1
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