一個數(shù)學(xué)興趣小組在上綜合與實踐課時發(fā)現(xiàn)：在大自然里，存在很多數(shù)學(xué)的奧秘，一片美麗的心形葉子、剛生長出的幼苗的部分輪廓線，可以近似的看作由拋物線的一部分沿直線折疊而成，如圖①與圖②所示．
【問題發(fā)現(xiàn)】如圖③，為了確定一片心形葉子的形狀，建立平面直角坐標(biāo)系，發(fā)現(xiàn)心形葉子下部輪廓線可以看作是二次函數(shù)y=mx2-4mx-20m+5圖象的一部分，且過原點，求這個拋物線的表達(dá)式及頂點D的坐標(biāo)．
【問題探究】如圖③，心形葉片的對稱軸直線y=x+2與坐標(biāo)軸交于A，B兩點，直線x=6分別交拋物線和直線AB于點E，F(xiàn)，點E、E′是葉片上的一對對稱點，EE交直線AB于點G．求葉片此處的寬度EE′的長．
【拓展應(yīng)用】興趣小組同學(xué)在觀察某種幼苗生長的過程中，發(fā)現(xiàn)幼苗葉片下方輪廓線也可以看作是二次函數(shù)y=mx2-4mx-20m+5圖象的一部分，如圖④，幼苗葉片下方輪廓線正好對應(yīng)“問題發(fā)現(xiàn)”中的二次函數(shù)y=mx2-4mx-20m+5．若直線PD與水平線的夾角為45°，三天后，點D長到與點P同一水平位置的點D′時，葉尖Q落在射線OP上（如圖⑤所示）．求此時一片幼苗葉子的長度和最大寬度．
【考點】二次函數(shù)綜合題．
【答案】【問題發(fā)現(xiàn)】點D（2，-1）；
【問題探究】5；
【拓展應(yīng)用】3；．
【問題探究】5
2
【拓展應(yīng)用】3
5
3
5
5
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/5/2 8:0:9組卷：526引用：3難度：0.3
相似題
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1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A、B、C三點的坐標(biāo)分別為A（-2，0），B（6，0），C（0，3）．
（1）求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式；
（2）過C點作CD平行于x軸交拋物線于點D，寫出D點的坐標(biāo)，并求AD、BC的交點E的坐標(biāo)；
（3）若拋物線的頂點為P，連接PC、PD，判斷四邊形CEDP的形狀，并說明理由．發(fā)布：2025/5/29 4:0:1組卷：252引用：21難度：0.1 -
2．如圖，AB、CD是半徑為1的⊙P兩條直徑，且∠CPB=120°，⊙M與PC、PB及弧CQB都相切，O、
Q分別為PB、弧CQB上的切點．
（1）試求⊙M的半徑r；
（2）以AB為x軸，OM為y軸（分別以O(shè)B、OM為正方向）建立直角坐標(biāo)系，
①設(shè)直線y=kx+m過點M、Q，求k,m；?????????????????
②設(shè)函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點Q、O，求此函數(shù)解析式；
③當(dāng)y=x2+bx+c＜0時，求x的取值范圍；
④若直線y=kx+m與拋物線y=x2+bx+c的另一個交點為E，求線段EQ的長度．發(fā)布：2025/5/29 5:0:1組卷：72引用：2難度：0.1 -
3．如圖，ABCD為平行四邊形，以BC為直徑的⊙O經(jīng)過點A，∠D=60°，BC=2，一動點P在AD上移動，過點P作直線AB的垂線，分別交直線AB、CD于E、F，設(shè)點O到EF的距離為t,若B、P、F三點能構(gòu)成三角形，設(shè)此時△BPF的面積為S．
（1）計算平行四邊形ABCD的面積；
（2）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）△BPF的面積存在最大值嗎？若存在，請求出這個最大值，若不存在，請說明理由．發(fā)布：2025/5/29 5:30:2組卷：73引用：1難度：0.1
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