1．問題初探
（1）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)活動課上，張老師給出了一個問題：如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D，E在BC邊上，且∠DAE=45°，則用等式表示線段BD，CE，DE之間的數(shù)量關(guān)系是 ；
①小明同學(xué)經(jīng)過分析后，將△ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACF，連接EF，根據(jù)三角形全等和勾股定理知識得到線段BD，CE，DE之間的數(shù)量關(guān)系；
②小強(qiáng)同學(xué)經(jīng)過分析后，將△ABD、△ACE分別沿AD，AE進(jìn)行翻折，得到△AFD和△AFE，根據(jù)三角形全等和勾股定理知識也得到了線段BD，CE，DE之間的數(shù)量關(guān)系．
請你根據(jù)上述兩名同學(xué)的分析寫出用等式表示線段BD，CE，DE之間的數(shù)量關(guān)系是 ；
類比分析
（2）張老師發(fā)現(xiàn)兩名同學(xué)分別從旋轉(zhuǎn)和軸對稱的角度分析、解決問題，張老師將前面問題進(jìn)行變式，請你解答：如圖4，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在BC的延長線上，且∠DAE=45°，用等式表示線段BD，CE，DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
學(xué)以致用
（3）如圖5，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，∠EAF=45°，若BC=8，DC=12，CF=6，則BE的長是 ．

2．問題提出
（1）如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的點(diǎn)，∠BAD=2∠EAF．請直接寫出DE，BF，EF之間的數(shù)量關(guān)系：．
問題探究
（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD與∠BCD互補(bǔ)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的點(diǎn)，∠BAD=2∠EAF．請?zhí)骄浚?）中的結(jié)論是否仍成立？若成立，請證明結(jié)論；若不成立，請說明理由．
問題拓展
（3）在（1）中，如果點(diǎn)E，F(xiàn)分別是直線CD，直線BC上的點(diǎn)，其余條件不變，且DE=1，AB=3，則EF的長為 ．

3．【探究】如圖①，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)P在其內(nèi)部，∠APC=150°，將△APC繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△ADB，連接PD，試探究PA，PB，PC 三者之間的數(shù)量；
?
【運(yùn)用】在等邊三角形ABC中，AC=14，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，∠APC=90°，∠BPC=120°，求AP長；
【拓展】在四邊形ABCD中，∠ABC=60°，∠ADC=30°，AB=BC，，，求AD的長．