綜合與實踐
【問題情境】在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形紙片的剪拼”為主題開展數(shù)學活動．
如圖1，將：矩形紙片ABCD沿對角線AC剪開，得到△ABC和△ACD．并且量得AB=2cm,AC=4cm.
【操作發(fā)現(xiàn)】
（1）將圖1中的△ACD以點A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)∠α，使∠α=∠BAC，得到如圖2所示的△AC′D，過點C作AC′的平行線，與DC′的延長線交于點E，請你判斷四邊形ACEC′的形狀，并證明你的結(jié)論．
（2）創(chuàng)新小組將圖1中的△ACD以點A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使B、A、D三點在同一條直線上，得到如圖3所示的△AC′D，連接CC′，取CC′的中點F，連接AF并延長至點G，使FG=AF，連接CG、C′G，得到四邊形ACGC′，請你判斷四邊形ACGC′的形狀，并證明你的結(jié)論．
【實踐探究】
（3）縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上，進行如下操作：將△ABC沿著BD方向平移，使點B與點A重合，此時A點平移至A′點，A′C與BC′相交于點H，如圖4所示，連接CC′，直接寫出線段C′H的長度．
【考點】四邊形綜合題．
【答案】（1）四邊形ACEC′是菱形，證明見解答過程；
（2）ACGC'是正方形，證明見解答過程；
（3）4-cm．
（2）ACGC'是正方形，證明見解答過程；
（3）4-
3
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/9/11 7:0:8組卷：112引用：1難度：0.2
相似題
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1．問題提出
（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．請在△ABC內(nèi)畫一個正方形，使得這個正方形一個內(nèi)角為∠C，其余頂點落在△ABC的邊上；
問題探究
（2）如圖，△ABC為一塊銳角三角形木板，其中BC=10，S△ABC=25．
如圖2，若要在△ABC中做出一個正方形，使正方形邊落在BC上，另外兩個頂點分別落在AB，AC上，則該正方形的面積為 ．
如圖3，若要在△ABC中做出一個平行四邊形，使平行四邊形一邊EF落在BC上，另兩頂點落在AB，AC上，請求出滿足條件的平行四邊形面積的最大值．
問題解決
（3）如圖4有一四邊形ABCD，AC與BD交于O，AC=10，BD=20，∠AOB=60°，現(xiàn)要在四邊形ABCD中截出平行四邊形EFGH，使得平行四邊形一邊EF與BD平行，四個頂點E，F(xiàn)，G，H落在ABCD的四邊上，當S?EFGH=S四邊形ABCD時EF=．14
發(fā)布：2025/5/25 17:30:1組卷：358引用：3難度：0.1 -
2．如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，正方形EFGH的三個頂點E，F(xiàn)，H分別在矩形ABCD的邊AB、BC，DA上，點G在矩形內(nèi)部，連接AC，CG，現(xiàn)給出以下結(jié)論：
①當AE=4時，S△FGC=16；
②當S△FGC=17.5時，AE=5；
③當A，G，C三點共線時，AG：GC=2：1；
④點G到CD的距離為定值．
其中正確的是 .（寫出所有正確結(jié)論的序號）發(fā)布：2025/5/25 18:0:1組卷：333引用：2難度：0.4 -
3．【問題情境】數(shù)學課上，王老師出示了這樣一個問題：如圖1，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AB延長線上一點，且BE=AB，連接DE，交BC于點M，以DE為一邊在DE的左下方作正方形DEFG，連接AM．試判斷線段AM與DE的位置關(guān)系．
【探究展示】小明發(fā)現(xiàn)，AM垂直平分DE，并展示了如下的證明方法：
證明：∵BE=AB，∴AE=2AB．
∵AD=2AB，∴AD=AE．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴.（平行線分線段成比例）
∵BE=AB，
∴=1．EMDM
∴EM=DM．
即AM是△ADE的DE邊上的中線，
又∵AD=AE，
∴.（等腰三角形的“三線合一”）
∴AM垂直平分DE．
【反思交流】
（1）請將上述證明過程補充完整；
（2）小穎受到小明的啟發(fā)，繼續(xù)進行探究，如圖2，連接CE，以CE為一邊在CE的左下方作正方形CEFG，發(fā)現(xiàn)點G在線段BC的垂直平分線上，請你給出證明；
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖3，連接CE，以CE為一邊在CE的右上方作正方形CEFG，分別以點B，C為圓心，m為半徑作弧，兩弧交于點M，連接MF．若MF=AB=1，請直接寫出m的值．發(fā)布：2025/5/25 17:30:1組卷：266引用：2難度：0.3
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