【提出問題】
（1）已知點(diǎn)P是⊙O外的一點(diǎn)，在⊙O上找一點(diǎn)A，使P、A兩點(diǎn)間距離最短．
如圖①，連接OP，OP與⊙O的交點(diǎn)A即為所求，此時線段PA最短．為了證明點(diǎn)A即為所求，不妨在⊙O上另外任取一點(diǎn)B，連接PB，OB，證明PB＞PA．請完成這個證明．
【變式探究】
（2）已知直線l與⊙O相離，在⊙O上找一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到直線l的距離最短．
小明給出下列解答，請你補(bǔ)全小明的解答．
小明的解答
如圖②，過點(diǎn)O作ON⊥l,垂足為N，ON與⊙O的交點(diǎn)M即為所求，此時線段MN最短．為了證明點(diǎn)M即為所求，不妨在⊙O上另外任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ⊥l,垂足為Q，連接OP，OQ，即證明PQ＞MN．
∵OP+PQ＞OQOP+PQ＞OQ，OQ＞ON，∴OP+PQ＞ON．
又 ON=OM+MNON=OM+MN，∴OP+PQ＞OM+MN．
又OP=OM，∴PQ＞MN．
【拓展研究】
（3）如圖③，已知直線l和直線外一點(diǎn)A，線段MN的長度為1．請用直尺和圓規(guī)作出一個⊙O，使⊙O經(jīng)過點(diǎn)A，且⊙O上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值為1．（不寫作法，保留作圖痕跡）
（4）如圖④，在△ABC中，AC=8，BC=12，∠C=30°，⊙O經(jīng)過點(diǎn)A，且⊙O上的點(diǎn)到直線BC的距離的最小值為2，距離最小值為2時所對應(yīng)的⊙O上的點(diǎn)記為點(diǎn)P，若點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部（不包括邊界），則⊙O的半徑r的取值范圍是 1＜r＜41＜r＜4．
【考點(diǎn)】圓的綜合題．
【答案】OP+PQ＞OQ；ON=OM+MN；1＜r＜4
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/9/1 8:0:8組卷：43引用：2難度：0.3
相似題
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1．如圖，AB是圓O的直徑，弦CD與AB交于點(diǎn)H，∠BDC=∠CBE．
（1）求證：BE是圓O的切線；
（2）若CD⊥AB，AC=2，BH=3，求劣弧BC的長；
（3）如圖，若CD∥BE，作DF∥BC，滿足BC=2DF，連接FH、BF，求證：FH=BF．發(fā)布：2025/1/28 8:0:2組卷：96引用：1難度：0.1 -
2．如圖，AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB于G，射線DO與直線CE相交于點(diǎn)E，直線DB與CE交于點(diǎn)H，且∠BDC=∠BCH．
（1）求證：直線CE是圓O的切線．
（2）如圖1，若OG=BG，BH=1，直接寫出圓O的半徑；
（3）如圖2，在（2）的條件下，將射線DO繞D點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得射線DM，DM與AB交于點(diǎn)M，與圓O及切線CF分別相交于點(diǎn)N，F(xiàn)，當(dāng)GM=GD時，求切線CF的長．
發(fā)布：2025/1/28 8:0:2組卷：775引用：2難度：0.1 -
3．如圖，AB是圓O的直徑，AB=6，D是半圓ADB上的一點(diǎn)，C是弧BD的中點(diǎn)．
（1）若∠ABD=30°，求BC的長和由弦BC、BD、和弧CD圍成的圖形面積；
（2）若弧AD的度數(shù)是120度，在半徑OB上是否存在點(diǎn)P，使得PC+PD的值最小，如果存在，請?jiān)趥溆脠D中畫出P的位置，并求PC+PD的最小值，如果不存在，請說明理由．
發(fā)布：2025/1/28 8:0:2組卷：42引用：0難度：0.3