已知雙曲線Γ：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的焦距為4，直線l：x-my-4=0（m∈R）與Γ交于兩個不同的點D、E，且m=0時直線l與Γ的兩條漸近線所圍成的三角形恰為等邊三角形．
（1）求雙曲線Γ的方程；
（2）若坐標原點O在以線段DE為直徑的圓的內(nèi)部，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設A、B分別是Γ的左、右兩頂點，線段BD的垂直平分線交直線BD于點P，交直線AD于點Q，求證：線段PQ在x軸上的射影長為定值．
x
2
a
2
y
2
b
2
【考點】直線與雙曲線的綜合．
【答案】（1）-y2=1；
（2）m＞或m＜-；
（3）證明：雙曲線的頂點A（-，0），B（，0），
由（2）可得線段BD的垂直平分線交直線BD于點P（，），
直線BD的斜率為，可得BD的垂直平分線方程為y-=-（x-），①
AD的方程為y=（x+），②
由D在雙曲線上可得-3=3，即-3=3，③
聯(lián)立①②③解得xQ=+，
則線段PQ在x軸上的射影長為|xP-xQ|=．即為定值．
x
2
3
（2）m＞
3
3
（3）證明：雙曲線的頂點A（-
3
3
由（2）可得線段BD的垂直平分線交直線BD于點P（
3
+
x
1
2
y
1
2
直線BD的斜率為
y
1
x
1
-
3
y
1
2
x
1
-
3
y
1
3
+
x
1
2
AD的方程為y=
y
1
x
1
+
3
3
由D在雙曲線上可得
x
2
1
y
2
1
x
2
1
y
2
1
聯(lián)立①②③解得xQ=
x
1
2
3
4
則線段PQ在x軸上的射影長為|xP-xQ|=
3
4
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：427引用：4難度：0.5
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