如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，點(diǎn)P為線段CB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C，B重合），過點(diǎn)P作PQ∥y軸交拋物線于點(diǎn)Q．
（1）求拋物線的表達(dá)式和對(duì)稱軸；
（2）設(shè)P的橫坐標(biāo)為t,請(qǐng)用含t的式子表示線段PQ的長(zhǎng)，并求出線段PQ的最大值；
（3）已知點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)N是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)線段PQ取得最大值時(shí)，是否存在這樣的點(diǎn)M，N，使得四邊形PBMN是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）y=-x2+3x+4，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=；
（2）PQ=-t2+4t，PQ的最大值為4；
（3）存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）或（，-）．
3
2
（2）PQ=-t2+4t，PQ的最大值為4；
（3）存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（
3
2
7
2
3
2
7
2
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：1227引用：2難度：0.5
相似題
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1．拋物線y=x2-1交x軸于A，B兩點(diǎn)（A在B的左邊）．
（1）?ACDE的頂點(diǎn)C在y軸的正半軸上，頂點(diǎn)E在y軸右側(cè)的拋物線上；
①如圖（1），若點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，3），點(diǎn)E的橫坐標(biāo)是，直接寫出點(diǎn)A，D的坐標(biāo)．32
②如圖（2），若點(diǎn)D在拋物線上，且?ACDE的面積是12，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
（2）如圖（3），F(xiàn)是原點(diǎn)O關(guān)于拋物線頂點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，不平行y軸的直線l分別交線段AF，BF（不含端點(diǎn)）于G，H兩點(diǎn)．若直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求證：FG+FH的值是定值．
發(fā)布：2025/5/24 14:30:1組卷：4560引用：6難度：0.3 -
2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx-4（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）直線l為該拋物線的對(duì)稱軸，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于直線l對(duì)稱，點(diǎn)P為直線AD下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PD，求△PAD面積的最大值．
（3）在（2）的條件下，將拋物線y=ax2+bx-4（a≠0）沿射線AD平移4個(gè)單位，得到新的拋物線y1，點(diǎn)E為點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)F為y1的對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)，在y1上確定一點(diǎn)G，使得以點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點(diǎn)G的坐標(biāo)，并任選其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出求解過程．2
發(fā)布：2025/5/24 14:0:2組卷：3322引用：11難度：0.3 -
3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+5經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）、B（5，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）將（1）中的拋物線向下平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移h（h＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新的拋物線．若新拋物線的頂點(diǎn)D'在△ABC內(nèi)，求h的取值范圍；
（3）點(diǎn)P為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B、C重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線交（1）中的拋物線于點(diǎn)Q，當(dāng)△PQC與△ABC相似時(shí)，求△PQC的面積．發(fā)布：2025/5/24 14:0:2組卷：115引用：1難度：0.1