綜合與實踐：在一次綜合實踐活動課上，王老師給每位同學各發(fā)了一張正方形紙片，請同學們思考如何僅通過折紙的方法來確定該正方形一邊上的一個三等分點．
【操作探究】
“啟航”小組的同學在經(jīng)過一番思考和討論交流后，進行了如下操作：
第1步：如圖1所示，先將正方形紙片ABCD對折，使點A和點B重合，然后展開鋪平，折痕為EF；
第2步：再將正方形紙片ABCD對折，使點B和點D重合，然后展開鋪平，折痕為AC，AC交EF于點P；
第3步：沿DE折疊正方形紙片ABCD，DE交AC于點G；
第4步：過點G折疊正方形紙片ABCD，使折痕MN∥AD．
則點M為AB邊的三等分點．證明過程如下：
由題意，可知E是AB的中點，P是AC的中點，
∴EP=12BC=12AD，EP∥BC∥AD．
∴∠ADG=∠PEG，∠DAG=∠EPG．
∴△ADG ∽∽△PEG．∴AGPG=DAEP=2．
設(shè)PG=x,則AG=2x2x．
∴AP=PC=3x.∴AGGC=2xx+3x=12．
易得MG∥BC．∴AGGC=AMMB=12，即點M為AB邊的三等分點．
“奮進”小組的同學是這樣操作的：
第1步：如圖2所示，先將正方形紙片ABCD對折，使點A和點B重合，然后展開鋪平，折痕為EF；
第2步：將BC邊沿CE翻折到GC的位置；
第3步：延長EG交AD于點H．
（1）“啟航”小組的證明過程中，兩處“”上的內(nèi)容依次為 ∽∽，2x2x．
（2）結(jié)合“奮進”小組的操作過程，判斷點H是否為AD邊的三等分點，并說明理由．
（3）【拓展應(yīng)用】在邊長為3的正方形ABCD中，點E是射線BA上一動點，連接CE，將△EBC沿CE翻折得到△EGC，直線EG與直線AD交于點H．若DH=13AD，請直接寫出BE的長．
EP
=
1
2
BC
=
1
2
AD
AG
PG
=
DA
EP
=
2
AG
GC
=
2
x
x
+
3
x
=
1
2
AG
GC
=
AM
MB
=
1
2
DH
=
1
3
AD
【考點】相似形綜合題．
【答案】∽；2x；∽；2x
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：491引用：3難度：0.1
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1．如圖，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，點P為AB邊上一動點，DP交AC于點Q．
（1）求證：△APQ∽△CDQ；
（2）P點從A點出發(fā)沿AB邊以每秒1個單位長度的速度向B點移動，移動時間為t秒．
①當t為何值時，DP⊥AC？
②設(shè)S△APQ+S△DCQ=y,寫出y與t之間的函數(shù)解析式，并探究P點運動到第幾秒到第幾秒之間時，y取得最小值．發(fā)布：2025/7/1 13:0:6組卷：2097引用：6難度：0.1 -
2．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．AB=BC．點D是線段AB上的一點，連接CD．過點B作BG⊥CD，分別交CD、CA于點E、F，與過點A且垂直于AB的直線相交于點G，連接DF，給出以下四個結(jié)論：①=AGAB；②若點D是AB的中點，則AF=AFFCAB；③當B、C、F、D四點在同一個圓上時，DF=DB；④若23=DBAD，則S△ABC=9S△BDF，其中正確的結(jié)論序號是（ ?。?/h2>12發(fā)布：2025/6/24 16:30:1組卷：2782引用：11難度：0.2 -
3．【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，△ABC是等邊三角形，∠AEF=60°，EF交等邊三角形外角平分線CF所在的直線于點F，當點E是BC的中點時，有AE=EF成立；
【數(shù)學思考】某數(shù)學興趣小組在探究AE、EF的關(guān)系時，運用“從特殊到一般”的數(shù)學思想，通過驗證得出如下結(jié)論：
當點E是直線BC上（B，C除外）任意一點時（其它條件不變），結(jié)論AE=EF仍然成立．
假如你是該興趣小組中的一員，請你從“點E是線段BC上的任意一點”；“點E是線段BC延長線上的任意一點”；“點E是線段BC反向延長線上的任意一點”三種情況中，任選一種情況，在備用圖1中畫出圖形，并證明AE=EF．
【拓展應(yīng)用】當點E在線段BC的延長線上時，若CE=BC，在備用圖2中畫出圖形，并運用上述結(jié)論求出S△ABC：S△AEF的值．
發(fā)布：2025/6/24 15:30:2組卷：1872引用：6難度：0.1
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