已知等軸雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，且焦點(diǎn)到漸近線的距離為2．
（1）求C的方程；
（2）若C上有兩點(diǎn)P，Q滿足∠POQ=45°，證明：1|OP|4+1|OQ|4是定值．
2
1
|
OP
|
4
+
1
|
OQ
|
4
【考點(diǎn)】雙曲線的幾何特征．
【答案】（1）x2-y2=2；
（2）證明：設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），
由，得，
且，，
所以，
則，
即，
平方后得，
等式兩邊同時(shí)除以|OP|4?|OQ|4，
得，
即，即．
所以是定值，且該定值為．
（2）證明：設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），
由
OP
?
OQ
=
|
OP
|
?
|
OQ
|
?
cos
45
°
x
1
x
2
+
y
1
y
2
=
2
2
|
OP
|
?
|
OQ
|
且
|
OP
|
2
=
x
2
1
+
y
2
1
=
2
x
2
1
-
2
=
2
y
2
1
+
2
|
OQ
|
2
=
x
2
2
+
y
2
2
=
2
x
2
2
-
2
=
2
y
2
2
+
2
所以
y
2
1
y
2
2
=
1
2
|
OP
|
2
?
|
OQ
|
2
+
x
2
1
x
2
2
-
2
x
1
x
2
?
|
OP
|
?
|
OQ
|
則
|
OP
|
2
-
2
2
?
|
OQ
|
2
-
2
2
=
1
2
|
OP
|
2
?
|
OQ
|
2
+
|
OP
|
2
+
2
2
?
|
OQ
|
2
+
2
2
-
2
x
1
x
2
?
|
OP
|
?
|
OQ
|
即
|
OP
|
2
．
|
OQ
|
2
+
2
|
OP
|
2
+
2
|
OQ
|
2
=
2
2
x
1
x
2
?
|
OP
|
?
|
OQ
|
平方后得
（
|
OP
|
2
?
|
OQ
|
2
+
2
|
OP
|
2
+
2
|
OQ
|
2
）
2
=
8
×
|
OP
|
2
+
2
2
?
|
OQ
|
2
+
2
2
?
|
OP
|
2
?
|
OQ
|
2
等式兩邊同時(shí)除以|OP|4?|OQ|4，
得
（
1
+
2
|
OP
|
2
+
2
|
OQ
|
2
）
2
=
2
（
1
+
2
|
OP
|
2
）
（
1
+
2
|
OQ
|
2
）
即
4
|
OP
|
4
+
4
|
OQ
|
4
=
1
1
|
OP
|
4
+
1
|
OQ
|
4
=
1
4
所以
1
|
OP
|
4
+
1
|
OQ
|
4
1
4
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：260引用：5難度：0.3
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