綜合與實踐
在一節(jié)數(shù)學課上，張老師提出了這樣一個問題：如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D是邊BC上一動點（不與點B重合），∠EDB=12∠C，BE⊥DE，DE交AB于點F．猜想線段BE，DF之間的數(shù)量關系并說明理由．
小聰與同桌小明討論后，仍不得其解．張老師給出提示：“數(shù)學中常通過把一個問題特殊化來找到解題思路．”兩人茅塞頓開，于是進行了如下討論，請仔細閱讀，并完成相應的任務．
∠
EDB
=
1
2
∠
C
| 小聰：已知點D是動點，因此可以將點D移動到一個特殊的位置．當點D與點C重合時， 如圖2所示．此時可以分別延長BE，CA交于點H，如圖3所示，可知△CBH是等腰三角形，證明△ABH≌△ACF，從而得出線段BE，DF之間的數(shù)量關系．  小明：對于圖2，我有不同的證明方法，過點F分別作BE，AC的平行線，交邊BC于點M， N，如圖4所示，可知△BEF∽△CFM，且FN=MN=CN，又∵FN=FB，可得△BEF與△CFM的相似比為1：2，從而得出線段BE，DF之間的數(shù)量關系． |
2BE=DF
2BE=DF
；任務二：通過閱讀上述討論，請在小聰與小明的方法中選擇一種，就圖1中的情形判斷線段BE，DF之間的數(shù)量關系，并給出證明；
任務三：若AB=4，其他條件不變，當△ADF是直角三角形時，直接寫出BD的長．
【考點】相似形綜合題．
【答案】2BE=DF
【解答】
【點評】
聲明：本試題解析著作權屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布。
發(fā)布：2024/4/24 14:0:35組卷：349引用：2難度：0.2
相似題
-
1．已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，E是上底AD的中點，P是腰AB上一動點，連接PE并延長，交射線CD于點M，作EF⊥PE，交下底BC于點F，連接MF交AD于點N，連接PF，AB=AD=4，BC=6，點A、P之間的距離為x,△PEF的面積為y.
（1）當點F與點C重合時，求x的值；
（2）求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；
（3）當∠CMF=∠PFE時，求△PEF的面積．發(fā)布：2025/1/28 8:0:2組卷：240引用：1難度：0.5 -
2．【閱讀】“關聯(lián)”是解決數(shù)學問題的重要思維方式，角平分線的有關聯(lián)想就有很多……
（1）【問題提出】如圖①，PC是△PAB的角平分線，求證．PAPB=ACBC
請根據(jù)小明或小紅的思路，選擇一種并完成證明；小明思路：關聯(lián)“平行線、等腰三角形”，過點B作BD∥PA，交PC的延長線于點D，利用“三角形相似”．
小紅思路：關聯(lián)“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”，過點C分別作CD⊥PA交PA于點D，作CE⊥PB交PB于點E，利用“等面積法”．
（2）【理解應用】填空：如圖②，Rt△ABC中，∠B=90°，BC=3，AB=4，CD平分∠ACB交AB于點D，則BD長度為 ；
（3）【深度思考】如圖③，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是邊BC上一點，連接AD，將△ACD沿AD所在直線折疊點C恰好落在邊AB上的E點處．若AC=1，AB=2，則DE的長為 ；
（4）【拓展升華】如圖④，△ABC中，AB=6，AC=4，AD為∠BAC的角平分線，AD的垂直平分線EF交BC延長線于F，連接AF，當BD=3時，AF的長為 ．
發(fā)布：2025/1/28 8:0:2組卷：320引用：1難度：0.1 -
3．【感知】如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分別是邊AC、BC的中點，連接DE．則△CDE與△CAB的面積比為．
【探究】將圖①的△CDE繞著點C按順時針方向旋轉一定角度，使點E落在△ABC內(nèi)部，連接AD、BE，并延長BE分別交AC、AD于點O、F，其它條件不變，如圖②．
（1）求證：△ACD∽△BCE．
（2）求證：AD⊥BF．
【應用】將圖②的△CDE繞著點C按順時針方向旋轉，使點D恰好落在邊BC的延長線上，連接AD、BE，BE的延長線交AD于點F，其它條件不變，如圖③，若AC=4，BC=3，則BF的長為．
發(fā)布：2025/1/28 8:0:2組卷：301引用：1難度：0.1