綜合與實踐
在一節(jié)數(shù)學(xué)課上，張老師提出了這樣一個問題：如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D是邊BC上一動點（不與點B重合），∠EDB=12∠C，BE⊥DE，DE交AB于點F．猜想線段BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．
小聰與同桌小明討論后，仍不得其解．張老師給出提示：“數(shù)學(xué)中常通過把一個問題特殊化來找到解題思路．”兩人茅塞頓開，于是進行了如下討論，請仔細閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．
∠
EDB
=
1
2
∠
C
| 小聰：已知點D是動點，因此可以將點D移動到一個特殊的位置．當(dāng)點D與點C重合時， 如圖2所示．此時可以分別延長BE，CA交于點H，如圖3所示，可知△CBH是等腰三角形，證明△ABH≌△ACF，從而得出線段BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系．  小明：對于圖2，我有不同的證明方法，過點F分別作BE，AC的平行線，交邊BC于點M， N，如圖4所示，可知△BEF∽△CFM，且FN=MN=CN，又∵FN=FB，可得△BEF與△CFM的相似比為1：2，從而得出線段BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系． |
2BE=DF
2BE=DF
；任務(wù)二：通過閱讀上述討論，請在小聰與小明的方法中選擇一種，就圖1中的情形判斷線段BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；
任務(wù)三：若AB=4，其他條件不變，當(dāng)△ADF是直角三角形時，直接寫出BD的長．
【考點】相似形綜合題．
【答案】2BE=DF
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/4/24 14:0:35組卷：373引用：2難度：0.2
相似題
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1．如圖，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，點P為AB邊上一動點，DP交AC于點Q．
（1）求證：△APQ∽△CDQ；
（2）P點從A點出發(fā)沿AB邊以每秒1個單位長度的速度向B點移動，移動時間為t秒．
①當(dāng)t為何值時，DP⊥AC？
②設(shè)S△APQ+S△DCQ=y,寫出y與t之間的函數(shù)解析式，并探究P點運動到第幾秒到第幾秒之間時，y取得最小值．發(fā)布：2025/7/1 13:0:6組卷：2101引用：6難度：0.1 -
2．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．AB=BC．點D是線段AB上的一點，連接CD．過點B作BG⊥CD，分別交CD、CA于點E、F，與過點A且垂直于AB的直線相交于點G，連接DF，給出以下四個結(jié)論：①=AGAB；②若點D是AB的中點，則AF=AFFCAB；③當(dāng)B、C、F、D四點在同一個圓上時，DF=DB；④若23=DBAD，則S△ABC=9S△BDF，其中正確的結(jié)論序號是（ ?。?/h2>12發(fā)布：2025/6/24 16:30:1組卷：2783引用：11難度：0.2 -
3．【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，△ABC是等邊三角形，∠AEF=60°，EF交等邊三角形外角平分線CF所在的直線于點F，當(dāng)點E是BC的中點時，有AE=EF成立；
【數(shù)學(xué)思考】某數(shù)學(xué)興趣小組在探究AE、EF的關(guān)系時，運用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，通過驗證得出如下結(jié)論：
當(dāng)點E是直線BC上（B，C除外）任意一點時（其它條件不變），結(jié)論AE=EF仍然成立．
假如你是該興趣小組中的一員，請你從“點E是線段BC上的任意一點”；“點E是線段BC延長線上的任意一點”；“點E是線段BC反向延長線上的任意一點”三種情況中，任選一種情況，在備用圖1中畫出圖形，并證明AE=EF．
【拓展應(yīng)用】當(dāng)點E在線段BC的延長線上時，若CE=BC，在備用圖2中畫出圖形，并運用上述結(jié)論求出S△ABC：S△AEF的值．
發(fā)布：2025/6/24 15:30:2組卷：1873引用：6難度：0.1
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