綜合與實踐
在一節(jié)數(shù)學課上，張老師提出了這樣一個問題：如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D是邊BC上一動點（不與點B重合），∠EDB=12∠C，BE⊥DE，DE交AB于點F．猜想線段BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．
小聰與同桌小明討論后，仍不得其解．張老師給出提示：“數(shù)學中常通過把一個問題特殊化來找到解題思路．”兩人茅塞頓開，于是進行了如下討論，請仔細閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．
∠
EDB
=
1
2
∠
C
| 小聰：已知點D是動點，因此可以將點D移動到一個特殊的位置．當點D與點C重合時， 如圖2所示．此時可以分別延長BE，CA交于點H，如圖3所示，可知△CBH是等腰三角形，證明△ABH≌△ACF，從而得出線段BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系．  小明：對于圖2，我有不同的證明方法，過點F分別作BE，AC的平行線，交邊BC于點M， N，如圖4所示，可知△BEF∽△CFM，且FN=MN=CN，又∵FN=FB，可得△BEF與△CFM的相似比為1：2，從而得出線段BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系． |
2BE=DF
2BE=DF
；任務(wù)二：通過閱讀上述討論，請在小聰與小明的方法中選擇一種，就圖1中的情形判斷線段BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；
任務(wù)三：若AB=4，其他條件不變，當△ADF是直角三角形時，直接寫出BD的長．
【考點】相似形綜合題．
【答案】2BE=DF
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/4/24 14:0:35組卷：328引用：2難度：0.2
相似題
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1．如圖1，Rt△ABC中，AC=6cm,BC=8cm,點P以2cm/s的速度從A處沿AB方向勻速運動，點Q以1cm/s的速度從C處沿CA方向勻速運動．連接PQ，若設(shè)運動的時間為t（s）（0＜t＜5）．解答下列問題：
（1）當t為何值時，△APQ與△ABC相似？
（2）設(shè)四邊形BCQP的面積為y,求出y與t的函數(shù)關(guān)系式，并求當t為何值時，y的值最小，寫出最小值；
（3）如圖2，將△APQ沿AP翻折，使點Q落在Q′處，連接AQ′，PQ′，若四邊形AQPQ′是平行四邊形，求t的值．發(fā)布：2024/12/2 8:0:1組卷：105引用：2難度：0.5 -
2．在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm,BC=8cm.
（1）求AB的長；
（2）如圖1，點P從A點出發(fā)以每秒2cm的速度沿AB方向勻速運動，同時點Q從C點出發(fā)以每秒1cm的速度沿CA方向勻速運動．連接PQ，若設(shè)運動的時間為t秒（0＜t＜5）．
①當t為何值時，以A、P、Q為頂點的三角形和以A、B、C為頂點的三角形相似；
②設(shè)四邊形BCQP的面積為y,求y的最小值；
③如圖2，把△APQ沿AP翻折，得到四邊形AQPQ′，當t為何值時，四邊形AQPQ′為平行四邊形．發(fā)布：2024/12/2 8:0:1組卷：241引用：1難度：0.3 -
3．如圖1，已知△ABC中，∠C=90°，AC=8cm,BC=6cm,點P由B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，同時點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為2cm/秒，連接PQ，設(shè)運動的時間為t秒（0≤t≤4）
（1）求△ABC的面積；
（2）當t為何值時，PQ∥BC；
（3）當t為何值時，△AQP面積為S=6cm2；
（4）如圖2，把△AQP翻折，得到四邊形AQPQ′能否為菱形？若能，求出菱形的周長；若不能，請說明理由．
發(fā)布：2024/12/2 8:0:1組卷：91引用：1難度：0.5
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