【深度閱讀】蘇格蘭哲學(xué)家托馬斯?卡萊爾（1795-1881）曾給出了一元二次方程x2+bx+c=0的幾何解法：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，1），B（-b,c），以AB為直徑作⊙P．若⊙P交x軸于點(diǎn)M（m,0），N（n,0），則m,n為方程x2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
【自主探究】（1）由勾股定理得，AM2=12+m2，BM2=c2+（-b-m）2，AB2=（1-c）2+b2，在Rt△ABM中，AM2+BM2=AB2，所以12+m2+c2+（-b-m）2=（1-c）2+b2．化簡得：m2+bm+c=0．同理可得：n2+bn+c=0n2+bn+c=0．
所以m,n為方程x2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
【遷移運(yùn)用】（2）在圖2中的x軸上畫出以方程x2-3x-2=0兩根為橫坐標(biāo)的點(diǎn)M，N．
（3）已知點(diǎn)A（0，1），B（4，-3），以AB為直徑作⊙C．判斷⊙C與x軸的位置關(guān)系，并說明理由．
【拓展延伸】（4）在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A（0，a），B（-b,c），若以AB為直徑的圓與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)M，N，則以點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)為根的一元二次方程是 x2+bx+ac=0x2+bx+ac=0．
【考點(diǎn)】圓的綜合題．
【答案】n2+bn+c=0；x2+bx+ac=0
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/10/11 1:0:1組卷：134引用：2難度：0.4
相似題
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1．如圖，四邊形OABC中，AO∥BC，∠AOC=90°，AO=3，AB=5．以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，且與BA的延長線交于F．延長AO交圓于E，連接FC交AE于點(diǎn)D．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）求cos∠FAE的值；
（3）求線段OD的長．發(fā)布：2025/6/7 5:0:1組卷：79引用：1難度：0.3 -
2．等腰三角形AFG中AF=AG，且內(nèi)接于圓O，D、E為邊FG上兩點(diǎn)（D在F、E之間），分別延長AD、AE交圓O于B、C兩點(diǎn)（如圖1），記∠BAF=α，∠AFG=β．
（1）求∠ACB的大小（用α，β表示）；
（2）連接CF，交AB于H（如圖2）．若β=45°，且BC×EF=AE×CF．求證：∠AHC=2∠BAC；
（3）在（2）的條件下，取CH中點(diǎn)M，連接OM、GM（如圖3），若∠OGM=2α-45°，
①求證：GM∥BC，GM=BC；12
②請(qǐng)直接寫出的值．OMMC
發(fā)布：2025/6/7 16:0:2組卷：1490引用：8難度：0.1 -
3．已知，線段AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)H，點(diǎn)M是優(yōu)弧CBD上的任意一點(diǎn)，AH=2，CH=4．
（1）如圖1，
①求⊙O的半徑；
②求sin∠CMD的值．
（2）如圖2，直線BM交直線CD于點(diǎn)E，直線MH交⊙O于點(diǎn)N，連結(jié)BN交CD于點(diǎn)F，求HE?FH的值．發(fā)布：2025/6/7 7:0:1組卷：476引用：2難度：0.3