在平面直角坐標(biāo)系xOy中有兩定點(diǎn)F1（0，3），F2（0，-3），若動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|+|MF2|=4，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+t交曲線C于A、B兩點(diǎn)，交直線l1：y=k1x于點(diǎn)D，若k?k1=-4，證明：D為AB的中點(diǎn)．
F
1
（
0
，
3
）
F
2
（
0
，-
3
）
|
M
F
1
|
+
|
M
F
2
|
=
4
【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【答案】（1）．
（Ⅱ）證明：依題意，聯(lián)立方程組
，
消去y得：（4+k2）x2+2ktx+t2-4=0，
∴，
即AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
解方程組
，
得直線l與l1的交點(diǎn)D的坐標(biāo)為，
由k?k1=-4得，代入D點(diǎn)坐標(biāo)即為，
綜上可知，D為AB的中點(diǎn)．
x
2
+
y
2
4
=
1
（Ⅱ）證明：依題意，聯(lián)立方程組
y = kx + t |
x 2 + y 2 4 = 1 |
消去y得：（4+k2）x2+2ktx+t2-4=0，
∴
x
1
+
x
2
2
=
-
kt
4
+
k
2
，
y
1
+
y
2
2
=
k
?
x
1
+
x
2
2
+
t
=
4
t
4
+
k
2
即AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為
（
-
kt
4
+
k
2
，
4
t
4
+
k
2
）
解方程組
y = kx + t |
y = k 1 x |
得直線l與l1的交點(diǎn)D的坐標(biāo)為
（
t
k
1
-
k
，
k
1
t
k
1
-
k
）
由k?k1=-4得
k
1
=
-
4
k
（
-
kt
4
+
k
2
，
4
t
4
+
k
2
）
綜上可知，D為AB的中點(diǎn)．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：3引用：2難度：0.5
相似題
-
1．已知兩個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0），曲線C上一點(diǎn)任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于2
．5
（1）求曲線C的方程；
（2）過(guò)F1（-3，0）引一條傾斜角為45°的直線與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求△ABF2的面積．發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：104引用：1難度：0.9 -
2．點(diǎn)P在以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求雙曲線的離心率e；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P1，P2兩點(diǎn)，且，OP1?OP2=-274，求雙曲線E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若過(guò)點(diǎn)Q（m,0）（m為非零常數(shù)）的直線l與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N，且（λ為非零常數(shù)），問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)G，使MQ=λQN？若存在，求出所有這種定點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．F1F2⊥（GM-λGN）發(fā)布：2024/12/29 10:0:1組卷：72引用：5難度：0.7 -
3．若過(guò)點(diǎn)（0，-1）的直線l與拋物線y2=2x有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的直線有（ ）條．
發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：26引用：5難度：0.7
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