1．已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，側(cè)棱PA⊥平面ABCD，點(diǎn)M在棱DP上，且DM=2MP，點(diǎn)N是在棱PC上的動(dòng)點(diǎn)（不為端點(diǎn)）．
（1）若N是棱PC中點(diǎn)，完成：
（ⅰ）畫出△PBD的重心G（在圖中作出虛線），并指出點(diǎn)G與線段AN的關(guān)系：
（ⅱ）求證：PB∥平面AMN；
（2）若四邊形ABCD是正方形，且AP=AD=3，當(dāng)點(diǎn)N在何處時(shí)，直線PA與平面AMN所成角的正弦值取最大值．

2．如圖，三棱臺(tái)ABC-A₁B₁C₁中，A₁C₁=2，AC=3，D為線段AC上靠近C的三等分點(diǎn)．
（1）在線段BC上求一點(diǎn)E，使A₁B∥平面C₁DE，并求的值；
（2）若AA₁=AB=2，∠A₁AC=∠BAC=，點(diǎn)A₁到平面ABC的距離為，且點(diǎn)A₁在底面ABC的射影落在△ABC內(nèi)部，求直線B₁D與平面ACC₁A₁所成角的正弦值．

3．如圖，在多面體ABCDEF中，側(cè)面BCDF為菱形，側(cè)面ACDE為直角梯形，AC∥DE，AC⊥CD，N為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段DF上一動(dòng)點(diǎn)，且BC=2，AC=2DE，∠DCB=120°．
（1）若點(diǎn)M為線段DF的中點(diǎn)，證明：MN∥平面ACDE；
（2）若平面BCDF⊥平面ACDE，且DE=2，問：線段DF上是否存在點(diǎn)M，使得直線MN與平面ABF所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．