已知橢圓C：x216+y212=1的右焦點為F，右頂點為A，離心率為e,點P（m,0）（m＞4）滿足條件|FA||AP|=e．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）設(shè)過點F的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，記△PMF和△PNF的面積分別為S1，S2，求證：S1S2=|PM||PN|．
x
2
16
+
y
2
12
=
1
|
FA
|
|
AP
|
=
e
S
1
S
2
=
|
PM
|
|
PN
|
【考點】橢圓的幾何特征．
【答案】（Ⅰ）m=8．
（Ⅱ）證明：若直線l的斜率不存在，則有S1=S2，|PM|=|PN|，符合題意．
若直線l的斜率存在，則設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），M（x1，y1），N（x2，y2）．
由
得（4k2+3）x2-16k2x+16k2-48=0，
可知Δ＞0恒成立，且，．
因為
===，
所以∠MPF=∠NPF．
因為△PMF和△PNF的面積分別為，
，
所以．
（Ⅱ）證明：若直線l的斜率不存在，則有S1=S2，|PM|=|PN|，符合題意．
若直線l的斜率存在，則設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），M（x1，y1），N（x2，y2）．
由
x 2 16 + y 2 12 = 1 |
y = k （ x - 2 ） |
得（4k2+3）x2-16k2x+16k2-48=0，
可知Δ＞0恒成立，且
x
1
+
x
2
=
16
k
2
4
k
2
+
3
x
1
x
2
=
16
k
2
-
48
4
k
2
+
3
因為
k
PM
+
k
PN
=
y
1
x
1
-
8
+
y
2
x
2
-
8
=
k
（
x
1
-
2
）
x
1
-
8
+
k
（
x
2
-
2
）
x
2
-
8
=
k
（
x
1
-
2
）
（
x
2
-
8
）
+
k
（
x
2
-
2
）
（
x
1
-
8
）
（
x
1
-
8
）
（
x
2
-
8
）
2
k
x
1
x
2
-
10
k
（
x
1
+
x
2
）
+
32
k
（
x
1
-
8
）
（
x
2
-
8
）
2
k
?
16
k
2
-
48
4
k
2
+
3
-
10
k
?
16
k
2
4
k
2
+
3
+
32
k
（
x
1
-
8
）
（
x
2
-
8
）
=
0
所以∠MPF=∠NPF．
因為△PMF和△PNF的面積分別為
S
1
=
1
2
|
PF
|
?
|
PM
|
?
sin
∠
MPF
S
2
=
1
2
|
PF
|
?
|
PN
|
?
sin
∠
NPF
所以
S
1
S
2
=
|
PM
|
|
PN
|
【解答】
【點評】
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