已知等邊三角形ABC，過(guò)A點(diǎn)作AC的垂線(xiàn)l,點(diǎn)P為l上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），連接CP，把線(xiàn)段CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到CQ，連QB．
（1）如圖1，直接寫(xiě)出線(xiàn)段AP與BQ的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P、B在AC同側(cè)且AP=AC時(shí)，求證：直線(xiàn)PB垂直平分線(xiàn)段CQ；
（3）如圖3，若等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P、B分別位于直線(xiàn)AC異側(cè)，且△APQ的面積等于34，求線(xiàn)段AP的長(zhǎng)度．
3
4
【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．
【答案】（1）AP=BQ；
（2）證明略；
（3）AP的長(zhǎng)為：或或．
（2）證明略；
（3）AP的長(zhǎng)為：
3
3
3
2
3
+
21
3
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/8/10 9:0:1組卷：2307引用：5難度：0.3
相似題
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1．[問(wèn)題發(fā)現(xiàn)]如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D為斜邊BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線(xiàn)段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC，則線(xiàn)段BD與CE的數(shù)量關(guān)系是 ，位置關(guān)系是 ；
[探究證明]如圖2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC．AD=AE，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C，D，E在同一條直線(xiàn)上時(shí)，BD與CE具有怎樣的位置關(guān)系，說(shuō)明理由；
[拓展延伸]如圖3，在Rt△BCD中，∠BCD=90°，BC=2CD=4，過(guò)點(diǎn)C作CA⊥BD于A．將△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E．設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠CAE為a（0°＜a＜360°），當(dāng)C，D，E在同一條直線(xiàn)上時(shí)，畫(huà)出圖形，并求出線(xiàn)段BE的長(zhǎng)度．
發(fā)布：2025/5/25 22:0:1組卷：405引用：1難度：0.3 -
2．【發(fā)現(xiàn)奧秘】
（1）如圖1，在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AE，EC，BE，分別將AC，EC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到DC，F(xiàn)C，連接AD，DF，EF．當(dāng)B，E，F(xiàn)，D四個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足 時(shí)，BE+AE+CE的值最小，最小值為 ．
【解法探索】
（2）如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，請(qǐng)求出當(dāng)PA+PB+PC的值最小時(shí)∠BCP的度數(shù)，并直接寫(xiě)出此時(shí)PA：PB：PC的值．（提示：分別將PC，AC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到DC，EC，連接PD，DE，AE）
【拓展應(yīng)用】
（3）在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=2，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，直接寫(xiě)出當(dāng)PA+PB+PC的值最小時(shí)，PA：PB：PC的值．
發(fā)布：2025/5/26 0:30:1組卷：232引用：1難度：0.4 -
3．下面是某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題作的探究活動(dòng)：
（1）如圖1，小明同學(xué)得出△OAC≌△BPC，他的判斷理由是 ．問(wèn)題：
如圖1，已知，∠MON=60°，點(diǎn)A在邊OM上，點(diǎn)P是邊ON上一動(dòng)點(diǎn)，以線(xiàn)段AP為斜邊作Rt△ACP，AC=PC，∠ACP=90°（C和O在AP的兩側(cè)），連接OC，將線(xiàn)段OC繞C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至BC，連接OB．
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．ASA
（2）如圖2，小穎同學(xué)作BD⊥ON于D，她認(rèn)為OA與BD存在某種數(shù)量關(guān)系，那么OA與BD是否有數(shù)量關(guān)系？如果有數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你寫(xiě)出OA與BD的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；
（3）如圖1，小華說(shuō)，當(dāng)OA=2，當(dāng)△AOP是直角三角形時(shí)，可求出OB2的值，請(qǐng)你直接寫(xiě)出OB2的值．發(fā)布：2025/5/25 22:30:2組卷：142引用：2難度：0.1
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