【問題背景】（1）如圖1，△ABC中，∠BED=∠BCA，求證：BDAB=BEBC．
【問題探究】（2）如圖2，△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，CD⊥BD于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作BC的平行線交AB于點(diǎn)E，作EF⊥BC于點(diǎn)F，猜想EF與已有的哪條線段的一半相等，并加以證明；
【問題拓展】（3）在（2）上述條件下，當(dāng)FC=AC時(shí)，直接寫出∠BCD的正切值tan∠BCD．
BD
AB
=
BE
BC
【考點(diǎn)】相似形綜合題．
【答案】（1）證明過程見解析；
（2），證明過程見解析；
（3）tan∠BCD=3．
（2）
EF
=
1
2
AC
（3）tan∠BCD=3．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/5/9 8:0:9組卷：139引用：2難度：0.5
相似題
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1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，點(diǎn)Q在AB上，且AQ=2，過Q作QR⊥AB，垂足為Q，QR交折線AC-CB于R（如圖1），當(dāng)點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位向終點(diǎn)B移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P同時(shí)從A出發(fā)，以每秒6個(gè)單位的速度沿AB-BC-CA移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒（如圖2）．
（1）求△BCQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式．
（2）t為何值時(shí)，QP∥AC？
（3）t為何值時(shí)，直線QR經(jīng)過點(diǎn)P？
（4）當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以PQ為邊在AB上方所作的正方形PQMN在Rt△ABC內(nèi)部，求此時(shí)t的取值范圍．發(fā)布：2025/6/10 22:30:2組卷：1843引用：5難度：0.1 -
2．定義：兩個(gè)相似等腰三角形，如果它們的底角有一個(gè)公共的頂點(diǎn)，那么把這兩個(gè)三角形稱為“關(guān)聯(lián)等腰三角形”．如圖，在△ABC與△AED中，BA=BC，EA=ED，且△ABC～AED，所以稱△ABC與△AED為“關(guān)聯(lián)等腰三角形”，設(shè)它們的頂角為α，連接EB，DC，則稱
為“關(guān)聯(lián)比”．DCEB
下面是小穎探究“關(guān)聯(lián)比”與α之間的關(guān)系的思維過程，請(qǐng)閱讀后，解答下列問題：
（1）當(dāng)△ABC與△AED為“關(guān)聯(lián)等腰三角形”，且α=90°時(shí)，
①在圖2中，若點(diǎn)E落在AB上，則“關(guān)聯(lián)比”=；DCEB
②在圖3中，探究△ABE與△ACD的關(guān)系，并求出“關(guān)聯(lián)比”的值．DCEB
（2）如圖4，當(dāng)△ABC與△AED為“關(guān)聯(lián)等腰三角形”，且α=120°，
①“關(guān)聯(lián)比”=．DCEB
②AB=2時(shí)，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，線段BC掃過的面積是 ．
[遷移運(yùn)用]
（3）如圖5，△ABC與△AED為“關(guān)聯(lián)等腰三角形”．若∠ABC=∠AED=90°，AC=4，點(diǎn)P為AC邊上一點(diǎn)，且PA=1，點(diǎn)E為PB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E自點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)P時(shí)，點(diǎn)D所經(jīng)過的路徑長為 ．發(fā)布：2025/6/11 6:0:1組卷：550引用：2難度：0.1 -
3．如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，點(diǎn)M、N分別在AB、AD上，且MN⊥MC，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，連接BE交MC于點(diǎn)F．
（1）當(dāng)F為BE的中點(diǎn)時(shí)，求證：AM=CE；
（2）若=2，求EFBF的值；ANND
（3）若MN∥BE，求的值．ANND發(fā)布：2025/6/10 15:0:1組卷：1654引用：5難度：0.4